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A ÁRVORE DE PITÁGORAS

A figura em forma de árvore da página de abertura do Hipertexto Pitágoras é um fractal tridimensional chamado Árvore de Pitágoras. Nossa versão da Árvore de Pitágoras foi construída por Yolanda Kioko Saito Furuya com o aplicativo Maple V, adaptando uma figura de Harm Derksen.



Pitágoras O Teorema de Pitágoras
A Árvore de Pitágoras Ramos da Matemática
 


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Pitágoras

João Carlos Vieira Sampaio

Pitágoras representado por Rafael Sanzio em sua celebrada pintura
Escola de Atenas.

Pequena Biografia

Pitágoras (570-500 a.C.) foi um matemático grego, tendo sido também lider religioso, místico, sábio e filósofo. Nasceu em Samos, uma ilha grega na costa marítima do que hoje é a Turquia. Viajando a Mileto, uma cidade grega 50 quilômetros a sudeste de Samos, aprendeu Matemática com Tales (624-546 a.C.), considerado o fundador da Matemática grega. Segundo antigos historiadores, Pitágoras viajou para o Egito e para a Babilônia, onde é provável que tenha se encontrado com o  profeta Daniel. É provável  também que Pitágoras tenha estudado na Índia. Sua crença na reencarnação talvez tenha origem indiana. Um de seus contemporâneos é Buda, e é provável que Pitágoras e Buda tenham se encontrado. Em torno de 525 a.C. Pitágoras mudou-se para Crotona, uma cidade ao sul da Itália, onde fundou a Ordem (Escola)  Pitagórica. Casou-se com Teano, provavelmente a primeira mulher matemática da história.

A Escola Pitagórica

O termo Escola Pitagórica se refere a uma escola filosófica no sentido histórico cuja existência se prolongou por mil anos desde sua fundação.  O modo de vida e as doutrinas atribuídas a Pitágoras, provenientes de sua escola, recebem o nome de pitagorismo. Segundo historiadores, a Escola Pitagórica tinha um caráter peculiarmente duplo. Por um lado, dedicava-se a questões espirituais: os pitagóricos acreditavam na imortalidade da alma e na reencarnação e tinham a auto-reflexão como um dever consciente e imprescindível na espiritualização da vida. Por outro lado, como parte dessa espiritualização, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música, o que lhe imprimiu um caráter também científico, no sentido moderno da palavra. O estudo da Matemática - confundindo-se com a filosofia, pois "tudo é número" - era feito para promover a harmonia da alma com o cosmo. Dentre os princípios filosóficos que norteavam a escola pitagórica, destacam-se: a alma é imortal e reencarna-se; os acontecimentos da história repetem-se em certos ciclos; nada é inteiramente novo; todas as coisas vivas são afins; os princípios da Matemática são os princípios de todas as coisas.

Dentre os principais nomes da Escola Pitagórica destamos: Filolaus de Tarento (nasceu c. 470 a. C. e morreu c. 390 a. C.), Arquitas de Tarento (nasceu em 428 a. C. aproximadamente) e Hipasus de Metapontum (viveu por volta de 400 a. C.). O pitagorismo influenciou fortemente as obras de Demócrito de Abdera e Platão. Alguns séculos mais tarde houve uma revivência da Escola Pitagórica, e seus protagonistas passaram a ser chamados de neo-pitagóricos. Dentre esses destacamos Nicômaco de Gerasa, que viveu em torno do ano 100.

Tudo é Número

Os Pitagóricos chegaram à razoável conclusão, em seus estudos, de que "tudo são números". Essa afirmação parece ter sido fortemente influenciada por uma descoberta importante da Escola Pitagórica, a explicação da harmonia musical através de frações de inteiros.

Os Pitagóricos notaram haver uma relação matemática entre as notas da escala musical e os comprimentos de uma corda vibrante. Uma corda de determinado comprimento daria uma nota. Reduzida a 3/4 do seu comprimento, daria uma nota uma quinta acima. Reduzida à metade de seu comprimento, daria uma nota uma oitava acima. Assim os números 12, 8 e 6, segundo Pitágoras, estariam em "progressão harmônica", sendo 8 a média harmônica de 12 e 6. A média harmônica de dois números a e b é o número h dado por 1/h = (1/a + 1/b) 2.

Pitágoras dava especial atenção ao número 10, ao qual ele chamava de número divino. Dez era a base de contagem dos gregos, e dez são os vértices da estrela de Pitágoras. "A estrela de Pitágoras" é a estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um pentágono regular. O pentágono regular era de grande significação mística para os Pitagóricos e já era conhecido na antiga Babilônia.

pentágono pentágono e estrela de cinco pontas:
figuras de muitos significados para a Matemática e a Filosofia da Escola Pitagórica.
estrela de cinco pontas

As diagonais do pentágono regular cortam-se em pontos de divisão áurea. O ponto de divisão áurea de um segmento AB é o ponto C desse segmento que o divide de modo que a razão entre a parte menor e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e o todo, ou seja, AC/CB = CB/AB. Para os antigos gregos, o retângulo áureo, isto é, de lados proporcionais aos segmentos AC e CB, é o retângulo de maior beleza.

A crise na Escola Pitagórica

Uma das mais importantes descobertas da Escola Pitagórica foi a de que dois segmentos nem sempre são comensuráveis, ou seja, nem sempre a razão entre os comprimentos de dois segmentos é uma fração de números inteiros (número racional). Essa descoberta foi uma conseqüência direta do teorema de Pitágoras: se um triângulo retângulo tem catetos de comprimento 1, sua hipotenusa terá um comprimento x satisfazendo x2 = 2, e portanto a razão entre a hipotenusa e um cateto não será uma fração de dois inteiros, já que a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Parece que isso desgostou profundamente os Pitagóricos pois era uma descoberta inconciliável com a teoria dos números pitagórica. Somente no século IV a.C., Eudoxo, com sua teoria das proporções, redefiniu um conceito mais geral de razão entre dois segmentos, permitindo, em sua teoria, definir-se a razão entre dois segmentos comensuráveis ou não.

Acesso a outros endereços na internet sobre Pitágoras
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html. Acesso à página sobre Pitágoras no sítio MacTutor History of Mathematics.
http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit3/unit3.html. Pythagoras & Music of the Spheres.

Referências
[1] Anglin, W. S., Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York, Springer Verlag, 1994.
[2] Anglin, W. S. e Lambek, J., The Heritage of Thales. New York, Springer Verlag, 1995.
[3] Boyer, C.B., História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996.
[4] Eves, H., Introdução à História da Matemática. Campinas, Editora da UNICAMP, 1995.
[5] Honderich, T., The Oxford Companion to Philosophy. Oxford, Oxford University Press, 1995.
[6] Rezende, A., Curso de Filosofia. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Editor, 1999.



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O Teorema de Pitágoras

Yolanda Kioko Saito Furuya

Relacionado ao nome de Pitágoras temos o famoso Teorema de Pitágoras, amplamente utilizado na Matemática Elementar.

Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Em outros termos, se a e b são os catetos do triângulo retângulo e se c é sua hipotenusa, então a2 + b2 = c2.

A figura ao lado mostra o significado geométrico do Teorema de Pitágoras. A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

A tradição matemática ocidental, durante longo tempo, atribuiu a descoberta deste teorema a Pitágoras. Pesquisas históricas mais recentes constataram que o teorema era conhecido pelos babilônios, cerca de 1500 a.C., portanto muito tempo antes de Pitágoras (confira [2], p. 61 e 63). Os chineses o conheciam talvez por volta de 1100 a.C. e os hindus provavelmente cerca de 500 a.C. (confira [1], cap. 12).

Uma das demonstrações mais elegantes do Teorema é conhecida como a demonstração do quadrado chinês. Dado um triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c, construímos dois quadrados de mesmo lado a+b. Em cada um desses quadrados dispomos quatro cópias do triângulo retângulo, como na figura abaixo (em vermelho). A soma das áreas remanescentes do primeiro quadrado (em amarelo e verde) é igual à área remanescente do segundo quadrado (em azul). Portanto a2+b2=c2.


Outra demonstração, também obtida da decomposição do quadrado, é atribuída a Bhaskara, matemático hindu do Século XII. Segundo [2], p. 258, Bhaskara teria apenas desenhado a figura e escrito "Veja!", sem dar maiores explicações.

O quadrado maior, de lado c, é decomposto em quatro cópias do triângulo retângulo e mais um pequeno quadrado de lado a - b.

Existem por volta de 400 demonstrações do Teorema de Pitágoras. Na internet você pode obter mais informações:

Referências
[1] Boyer, C.B., História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996.
[2] Eves, H., Introdução à História da Matemática. Campinas, Editora da UNICAMP, 1995.


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A Árvore de Pitágoras

Yolanda Kioko Saito Furuya

A figura utilizada como símbolo do Hipertexto Pitágoras foi gerada pelo aplicativo computacional algébrico Maple V R4. Adaptamos um programa de autoria de Harm Derksen. Trata-se de uma figura fractal construída a partir da figura representativa do Teorema de Pitágoras (um triângulo retângulo e os três quadrados desenhados sobre os lados).
Para compreender a construção desse fractal começaremos estudando sua versão bidimensional. Observe na figura abaixo que o primeiro estágio consiste da figura representativa do Teorema de Pitágoras, constituída por um triângulo retângulo e os três quadrados desenhados sobre os lados. No segundo estágio são desenhados dois triângulos retângulos com hipotenusas coincidentes com os lados dos quadrados menores, em oposição ao primeiro triângulo. Sobre os catetos destes triângulos retângulos são desenhados quadrados, e assim temos mais duas figuras representativas do Teorema de Pitágoras. No terceiro estágio obtemos mais quatro triângulos, e assim sucessivamente.

Esta versão bidimensional da Árvore de Pitágoras tem 128 triângulos e quadrados, e foi obtida com o aplicativo computacional Maple V. Clicando com o mouse sobre a figura você pode ver o programa em um arquivo para leitura (formato .txt). Se você dispõe do Maple e deseja implementar o programa, pode obtê-lo no formato .mws no final deste texto, em Referências.

A Árvore de Pitágoras tridimensional pode ser obtida de forma semelhante, com algumas adaptações, para facilitar a colagem:

  • utilizar triângulos retângulos isósceles;
  • a profundidade w do conjunto-base (triângulo retângulo e seus quadrados, formando uma forquilha) deve ser tal que h/w = w/c, onde h = hipotenusa e c = cateto, para que o triângulo retângulo seguinte tenha hipotenusa = w e profundidade = c, colado com uma rotação de 90 graus;
  • o comprimento dos galhos pode ser aumentado, degenerando quadrados em retângulos;
  • para simplificar o programa, podemos modificar o conjunto base: utilizar um galho da forquilha descrita acima, isto é, o quadrado da hipotenusa e o triângulo retângulo, com profundidade w.

Versão tridimensional da Árvore de Pitágoras, obtida com o aplicativo computacional Maple V. Clicando com o mouse sobre a figura você pode ver o programa em um arquivo para leitura (formato .txt). Se você dispõe do Maple e deseja implementar o programa, pode obtê-lo no formato .mws logo abaixo, em Referências.

Referências
[1] Derksen, H., Árvore de Pitágoras, em http://www.maplesoft.com/cybermath/samples.html.
[2] Furuya, Y.K.S., Programa de geração da Árvore de Pitágoras bidimensional. 1998, UFSCar.
[3] Furuya, Y.K.S., Programa de geração da Árvore de Pitágoras tridimensional. 1998, UFSCar.


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Ramos da Matemática

Roberto Ribeiro Paterlini

Todas as coisas começam em ordem, assim terminarão e assim recomeçarão, de acordo com o instituidor da ordem e da matemática mística da cidade celeste.
Sir Thomas Browne

A figura da Árvore de Pitágoras nos recorda que a Matemática é às vezes comparada com uma árvore, com raízes (Fundamentos da Matemática), tronco (estruturas numéricas e geométricas) e galhos (os principais são a Álgebra, a Análise e a Geometria). Independentemente de ser ou não apropriada essa comparação, vamos fazer uma breve descrição da Matemática, conforme a vemos hoje.

O que é Matemática. Os matemáticos, em geral, preferem se abster de definir a Matemática. Penso que isso se deve a um sentimento ou a uma impressão de que, apesar do muito que já foi conseguido no desenvolvimento dessa ciência, algo de grande importância ainda precisa ser compreendido, conforme sugere a citação. Conscientes do caráter efêmero de tudo que é construído pelo homem, talvez seja mais prudente aguardar o amadurecimento dos tempos, e limitar nossas considerações à descrição do que tem sido efetivamente conseguido.
Quanto ao uso da palavra matemática diz a tradição que isso teve origem com Pitágoras. Segundo Anglin [1] pág. 33, a raiz do termo matemática deriva de uma língua Indo-Européia e seu significado é relacionado com a palavra mente.

O trabalho dos matemáticos, no presente ciclo de desenvolvimento, tem sido o de captar e compreender os arquétipos (1) do plano mental abstrato (2) relacionados com as idéias de quantidade e forma, e representá-los e operacionalizá-los no plano mental concreto (3) através do simbolismo algébrico. Assim são construídos os modelos matemáticos. Dentre eles, os mais conhecidos e utilizados pela ciência e pela sociedade em geral são os modelos numéricos. Aspectos externos desses modelos, como o sistema de representação decimal e os algoritmos para implementação das operações aritméticas constituem uma das invenções científicas mais bem sucedidas da história da humanidade. Os modelos matemáticos evoluem através dos tempos e acabam sempre por serem substituídos por modelos mais abrangentes e mais perfeitos.

Faremos a seguir uma breve descrição dos principais ramos da Matemática.

Álgebra. O estudo da Álgebra se iniciou no mundo antigo, com a invenção dos sistemas de representação numérica e suas aplicações a problemas envolvendo variáveis desconhecidas. Disto se originou o primeiro grande problema da Álgebra, a resolução de equações polinomiais. As equações de grau um e dois foram estudadas na Antiguidade. No Século XVI as equações de grau três e quatro foram solucionadas na Itália por Tartaglia, G. Cardano e L. Ferrari. No início do Século XIX os matemáticos N. H. Abel e E. Galois mostraram que as equações de grau maior ou igual a cinco não podiam, em geral, serem resolvidas por radicais. Destas idéias nasceu a Teoria dos Grupos, dando origem à Álgebra Abstrata. Os principais ramos da Ágebra hoje são Curvas Algébricas, Equações Algébricas, Funções Algébricas, Geometria Algébrica, Grupos Algébricos, Corpos Algébricos Numéricos e Variedades Algébricas.

Análise. O estudo da Análise se iniciou na Grécia Antiga com Eudoxus (4º século antes de Cristo) e Arquimedes (3º século antes de Cristo) quando desenvolveram o método da exaustão para o cálculo de áreas e volumes. Este problema foi retomado nos séculos XVI e XVII por F. Viéte, J. Kepler e B. Cavalieri. Ainda no Século XVII R. Descartes, P. de Fermat, B. Pascal e J. Wallis desenvolveram novos métodos para o cálculo de áreas e volumes e para a solução do problema de determinar a tangente a uma curva. Em 1684 foi publicado o primeiro trabalho de G. W. Leibniz sobre Cálculo e, em 1687, o Principia de I. Newton. Essas duas obras exerceram grande influência, dando origem ao Cálculo Diferencial e Integral e a outros ramos da Análise. Os principais ramos da Análise hoje são Funções Analíticas, Conjuntos Analíticos, Espaços Analíticos, Equações Diferenciais e Análise Numérica.

Geometria. Pode-se dizer que a Geometria começou a se desenvolver na pré-história, quando o homem dava os primeiros passos na abstração das formas. Muitas propriedades geométricas foram usadas pelos povos antigos, mas foram os matemáticos da Antiga Grécia que deram início à sistematização da Geometria, dando origem à primeira estrutura axiomática, a Geometria Euclidiana, descrita por Euclides em Os Elementos. Os axiomas escolhidos por Euclides deram origem ao problema da independência do quinto postulado, problema que teve grande importância no desenvolvimento da Geometria, pois deu ensejo ao aparecimento, no Século XIX, dos modelos geométricos não-euclidianos. Outro passo crucial no desenvolvimento da Geometria foi a invenção, no Século XVII, da Geometria Analítica e da Geometria Projetiva. Da Geometria se originou ainda a Topologia, que tem hoje considerável influência na Matemática.

Outros ramos da Matemática. A combinação dos métodos da Álgebra, Análise e Geometria deu origem a outros ramos da Matemática, como Teoria dos Números, Geometria Diferencial, Topologia Diferencial, Topologia Algébrica, Estatística, Probabilidade, Análise Combinatória, Sistemas Dinâmicos, Matemática Computacional, Programação Matemática, Teoria dos Jogos, etc. Por outro lado, da interação da Matemática com outras ciências se desenvolveram a História da Matemática, a Física-Matemática, a Mecânica dos Fluidos, a Termodinâmica, a Elasticidade, a Teoria Eletromagnética, os Métodos Matemáticos para a Engenharia, Economia, Biologia, Ciências Médicas e Ciências do Comportamento, a Teoria do Controle, etc. A Matemática se preocupa também com seus fundamentos epistemológicos, e assim da Lógica nasceu a Lógica Matemática.
Finalmente não poderíamos deixar de citar a Educação Matemática, disciplina científica que reúne os métodos da Pedagogia, Psicologia, Antropologia, Ciências Sociais, História, etc, com o objetivo de compreender como a Matemática é criada e de facilitar sua aprendizagem. Dedica-se ainda à construção de currículos, treinamento de professores, desenvolvimento de materiais didáticos e de novas tecnologias educacionais e promoção de competições.

Pequeno Glossário
Arquétipo: núcleo de energia de síntese criado pela mente universal para atuar como polarizador da manifestação de estruturas e padrões que conduzem a existência à meta última a ela reservada. Cada forma no mundo tangível está ligada a um arquétipo, e sua trajetória evolutiva nada mais é que a aproximação aos padrões emanados desse arquétipo. volta
Plano mental abstrato: nível da consciência planetária onde evolue a energia intuitiva. volta
Plano mental concreto: parcela mais densa do plano mental, no homem qualificada pela lógica, dedução e análise, sendo para ele instrumento de criação dos pensamentos. Realiza a ligação entre o plano mental abstrato e o cérebro humano. É o ponto de focalização da consciência humana em seu atual estágio de desenvolvimento. volta

Referências
[1] Anglin, W. S. e Lambek, J., The Heritage of Thales. New York, Springer Verlag, 1995.
[2] Boyer, C.B., História da Matemática, São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1974;
[3] Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2ª edição, Mathematical Society of Japan, ed. Hiyosi Itô, Cambridge, The MIT Press, 1987.
[4] Károlyi, O., Introdução à Música. Tradução: Álvaro Cabral. São Paulo, Martins Fontes, 1990.

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A representação de Pitágoras foi adaptada da página http://christusrex.org/www1/stanzas/S2-Segnatura.html. As figuras do pentágono e da estrela de cinco pontas foram preparadas por Roberto Paterlini, do DM-UFSCar, com o Corel 7. As outras figuras foram preparadas por Yolanda Kioko Saito Furuya, do DM-UFSCar, com o Maple V R4 (com textos em TEX). A citação de Sir Thomas Browne foi cotada de [4] página 5.
Publicado em 06/1998. Atualizado em 08/10/2002.