indicaremos por
seu comprimento.
O MÉTODO DA EXAUSTÃO E APLICAÇÕES
2. A DESCOBERTA DA INCOMENSURABILIDADE
Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan de Azevedo
O Método da Exaustão permite uma elegante justificativa para o fato de que o lado de um quadrado e sua diagonal são grandezas incomensuráveis.
Dado um segmento
indicaremos por
seu comprimento.
Dois segmentos dizem-se comensuráveis se são múltiplos de um
segmento comum. Em outros termos, sejam
e
dois segmentos. Se existir um segmento
e se existirem inteiros positivos
e
tais que
e
,
então
e
são múltiplos do segmento comum
,
e assim se dizem comensuráveis.
Confira na Figura 2.1 exemplo de segmentos comensuráveis. Temos
e
.
Figura 2.1
Dois segmentos se dizem incomensuráveis se não forem comensuráveis.
O conceito de comensurabilidade é correspondente ao de número racional na nomenclatura da Matemática Contemporânea. A razão entre os comprimentos de dois segmentos comensuráveis é um número racional. Por outro lado, a razão entre os comprimentos de dois segmentos incomensuráveis é um número irracional, e o conceito de incomensurabilidade é correspondente ao de número irracional.
Teorema 2.1 Em um quadrado qualquer, o lado e a diagonal são segmentos incomensuráveis.
Demonstração: Consideramos um quadrado
(confira a Figura 2.2), e sejam
e
respectivamente seu lado e sua diagonal. Observamos a seguinte construção.
Marcamos em
o ponto
tal que
e tomamos o segmento
perpendicular a
com
em
.
O
é necessariamente isósceles, com
.
Construímos então o quadrado
.
Sejam
e
respectivamente o lado e a diagonal do novo quadrado.
Notemos que
e
são congruentes, pois têm a hipotenusa em comum e
.
Logo
.
Figura 2.2
,
e segue
temos
,
donde
.
A construção acima pode ser repetida com o quadrado
,
e encontramos um terceiro quadrado
,
com lado
e diagonal
,
sendo
tal que
.
Suponhamos, agora, que
e
sejam comensuráveis. Então existe um número positivo
e existem números naturais
e
tais que
e
.
Usando as identidades acima temos
e
.
Assim sendo,
e
também são múltiplos de
.
E assim por diante, cada
é múltiplo de
.
Em particular
para todo
.
Aplicamos agora o
Método da Exaustão,
segundo o qual existe um número inteiro positivo
tal que
.
Isto é uma contradição, e concluímos que
e
são incomensuráveis.
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Este trabalho é uma adaptação da monografia de graduação
de Elivan de Azevedo, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar,
sob a orientação de Roberto Ribeiro Paterlini,
Departamento de Matemática da UFSCar.
Apresentado para publicação em dd/mm/aaaa.
Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira
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Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.