O MÉTODO DA EXAUSTÃO E APLICAÇÕES
| 4. ARQUIMEDES E O NÚMERO | |
Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan de Azevedo
Arquimedes utilizava o Método da Exaustão para apresentar demonstrações elegantes e rigorosas para suas descobertas matemáticas. O Teorema que aqui apresentamos aparece em sua famosa obra Sobre a Medida da Circunferência, e faz uma ligação entre o comprimento de uma circunferência e a área do disco por ela delimitado.
Postulamos aqui que toda circunferência tem comprimento. Ainda, esse número é maior do que o perímetro de qualquer polígono nela inscrito, e menor do que o perímetro de qualquer polígono nela circunscrito.
Começamos com um lema análogo ao Lema 3.2. Continuamos usando a seguinte
notação: se
é uma circunferência e
um polígono, indicaremos por
e
,
respectivamente, a área do disco delimitado por
e a área da região delimitada por
.
Lema 4.1 Dada uma circunferência
e um número positivo
,
existe um polígono regular
circunscrito a
tal que
circunscrito a
,
conforme a Figura 4.1.
.
Dobrando o número de lados obtemos um octógono regular
circunscrito a
.
Seja
.
Continuando desta forma, definimos uma seqüência de polígonos regulares
circunscritos a
tem
lados. Escrevemos
.
Queremos verificar que
e
são lados consecutivos do polígono
e tangenciam
respectivamente nos pontos
e
(a figura representa o caso
).
O ponto
de
é tal que
está na reta que passa pelo centro de
.
O segmento
é perpendicular a
em
e portanto é um lado de
.
Os lados de
vizinhos a
têm pontos médios
e
.
Temos
O ponto
está em
e
é perpendicular a
.
Observe que
,
assim sendo
a área da região delimitada pelos segmentos
e
e pelo arco de circunferência
e sendo
a área da região delimitada pelos segmentos
e
e pelo arco de circunferência
.
De
temos
,
para todo
.
Em virtude do Princípio de Eudoxo
(Teorema 1.1)
existe um inteiro positivo
tal que
.
Portanto
,
e
é o polígono procurado.
Teorema 4.2 (Arquimedes) A área de um disco é igual à
metade do produto do seu raio pelo comprimento de sua circunferência. Em outros
termos, seja
uma circunferência de raio
e comprimento
.
Seja
a área do disco delimitado por
.
Então
,
consideremos
.
Em virtude do
Lema 3.2
existe um polígono regular
de
lados inscrito em
tal que
.
Daí
o lado de
e
seu apótema, conforme a Figura 4.4. Seja
o perímetro de
.
Temos
Portanto
,
e a condição
não é verdadeira.
Assumindo agora
,
consideremos
.
Em virtude do Lema 4.1 acima existe um polígono regular
de
lados circunscrito a
tal que
.
Daí
a metade do lado de
e
o perímetro de
.
Temos
.
Portanto a condição
não é verdadeira.
Segue que é verdadeira a condição
.
Observação.
Vimos anteriormente
que existe uma constante
tal que
.
Combinando isto com o resultado do teorema acima temos
.
Referência: EDWARDS, C. H., The Historical Development of the Calculus. New York, Springer-Verlag, 1979.
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Este trabalho é uma adaptação da monografia de graduação
de Elivan de Azevedo, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar,
sob a orientação de Roberto Ribeiro Paterlini,
Departamento de Matemática da UFSCar.
Apresentado para publicação em dd/mm/aaaa.
Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira
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Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.