o volume de um poliedro
qualquer.
O MÉTODO DA EXAUSTÃO E APLICAÇÕES
5. VOLUME DA PIRÂMIDE
Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan de Azevedo
Usando o fato de que o volume de um prisma qualquer é igual à área de sua base multiplicada pela sua altura, o Método da Exaustão nos permite mostrar que o volume de uma pirâmide qualquer é igual à terça parte do produto da área de sua base pela sua altura.
Começaremos com um resultado de Euclides, segundo o qual uma pirâmide
triangular pode ser preenchida com prismas, exceto uma pequena porção, cujo
volume pode ser tão pequeno quanto se queira. Indicaremos por
o volume de um poliedro
qualquer.
Consideremos uma pirâmide triangular
com base
.
.
,
a saber,
,
,
,
,
e
,
de acordo com a figura acima. Note que as pirâmides menores
e são congruentes entre si. Consideremos os prismas
é congruente a
e este por sua vez está contido em
.
De modo análogo
é congruente a
e este por sua vez está contido em
.
Portanto
e
.
Temos
.
Portanto
e
.
Temos
.
Começando a segunda etapa, repetimos o processo para as pirâmides
e
.
Cada uma delas fica decomposta em duas pirâmides menores congruentes
e em dois prismas
:
para
.
Seja
é a união de todos os prismas obtidos na primeira e na segunda etapas da
decomposição de
.
.
Temos
a união de todos os prismas obtidos até a
-ésima
é a união de todos os prismas obtidos da primeira à
-ésima
.
Temos
,
existe um inteiro positivo
tal que
Lema 5.2 Com as notações acima, sejam
a altura de
e
a área de sua base. Então
é a metade do volume do prisma de base
e altura
.
Como
,
vem
tem altura
e base
,
com
.
Portanto
.
Notemos que para
e
se tem
e
se tem
-ésima
é a união de
e de
prismas. O volume de cada um desses prismas é
Em outros termos, sejam
e
os volumes das pirâmides, e
e
as áreas de suas respectivas bases. Então
.
Seja
.
Temos
.
Seja
.
Apliquemos à segunda pirâmide a decomposição descrita acima.
Em virtude do Lema 5.1 existe um inteiro positivo
tal que na
-ésima
de prismas tal que
.
Daí
.
Fazemos agora a decomposição análoga à primeira pirâmide, e
seja
a união de prismas da
-ésima
etapa da decomposição. Em virtude do Lema 5.2 temos
.
Supondo que seja verdadeira a condição
,
repetimos o argumento acima, mas com os papéis de
e
trocados. Concluímos que também não vale
.
Assim chegamos à conclusão de que vale
.
Escólio 5.4 Duas pirâmides triangulares com mesma altura e com bases de mesma área têm o mesmo volume.
Teorema 5.5 O volume de uma pirâmide qualquer é igual a um terço do produto da área de sua base pela sua altura.
Em outros termos, sejam
a altura da pirâmide e
a área de sua base. Então o volume
da pirâmide é
.
O prisma pode ser decomposto em três pirâmides triangulares. Usando o Teorema 5.3
provamos que essas três pirâmides têm o mesmo volume. Como o volume do
prisma é
,
segue que o volume de uma pirâmide triangular qualquer é
.
.
Suponhamos agora que a base da pirâmide seja uma região poligonal qualquer. Decompomos essa região em regiões triangulares, e assim a pirâmide fica decomposta em pirâmides triangulares de mesma altura. Aplicamos o resultado anterior, somando os volumes de todas as pirâmides triangulares.
Referência: EDWARDS, C. H., The Historical Development of the Calculus. New York, Springer-Verlag, 1979.
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Este trabalho é uma adaptação da monografia de graduação
de Elivan de Azevedo, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar,
sob a orientação de Roberto Ribeiro Paterlini,
Departamento de Matemática da UFSCar.
Apresentado para publicação em dd/mm/aaaa.
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Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.