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O MÉTODO DA EXAUSTÃO E APLICAÇÕES

6. VOLUMES DO CILINDRO E DO CONE

Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan de Azevedo
Usando o fato de que o volume de um prisma qualquer é igual à área de sua base multiplicada pela altura, o Método da Exaustão nos permite obter o mesmo resultado para o cilindro. De modo análogo podemos mostrar que o volume de um cone circular qualquer é igual à terça parte do produto da área de sua base pela altura.

Inicialmente postulamos que o cilindro tem volume, e que esse volume é maior do que o volume de qualquer prisma inscrito no cilindro, e menor do que o volume de qualquer prisma circunscrito ao cilindro.


Figura 6.1

Teorema 6.1 O volume de um cilindro qualquer é igual à área de sua base multiplicada pela altura.

Demonstração. Seja a altura do cilindro e a área de sua base. Seja o volume do cilindro. Consideremos as possibilidades

Usaremos o método da dupla redução ao absurdo. Assumindo , consideremos . Seja a circunferência da base do cilindro. Em virtude do Lema 3.2 existe um polígono regular inscrito em tal que . Daí

Entretanto é o volume de um prisma inscrito no cilindro, o que implica . Isto está em contradição com . Portanto a condição não é verdadeira.

Assumindo agora , consideremos . Em virtude do Lema 4.1 existe um polígono regular circunscrito a tal que . Daí

Mas é o volume de um prisma circunscrito ao cilindro, e , o que está em contradição com . Portanto a condição não é verdadeira.

Segue que é verdadeira a condição .

Usando o fato de que o volume de uma pirâmide qualquer é igual a um terço do produto da área de sua base pela altura, o Método da Exaustão nos permite obter o mesmo resultado para o cone.

Inicialmente postulamos que o cone tem volume, e que esse volume é maior do que o volume de qualquer pirâmide inscrita no cone, e menor do que o volume de qualquer pirâmide circunscrita ao cone.


Figura 6.2

Teorema 6.2 O volume de um cone circular qualquer é igual à terça parte do produto da área de sua base pela altura.

Demonstração. Análoga à do teorema anterior.

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Este trabalho é uma adaptação da monografia de graduação de Elivan de Azevedo, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar, sob a orientação de Roberto Ribeiro Paterlini, Departamento de Matemática da UFSCar.
Apresentado para publicação em dd/mm/aaaa. Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira General License Agreement and Lack of Warranty sobre condições de uso.
Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.