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O MÉTODO DA EXAUSTÃO

PENTÁGONO, INCOMENSURABILIDADE E O MÉTODO DA EXAUSTÃO

Roberto Ribeiro Paterlini




Introdução.

Os pontos de interseção das diagonais de um pentágono regular determinam um segundo pentágono regular. Estudando as relações entre esses dois pentágonos, os matemáticos da Escola Pitagórica descobriram propriedades importantes, como a existência de grandezas incomensuráveis. Alguns historiadores acham que este deve ter sido o primeiro momento em que as grandezas incomensuráveis foram percebidas. Os pitagóricos descobriram também a propriedade notável de que as diagonais de um pentágono regular dividem umas às outras em segmentos de média e extrema razão.


Figura 1

Definições.

Dado um segmento indicaremos por seu comprimento.

Dois segmentos dizem-se comensuráveis se são múltiplos de um segmento comum. Em outros termos, sejam e dois segmentos. Se existir um segmento e se existirem inteiros positivos e tais que e , então e são múltiplos do segmento comum , e assim se dizem comensuráveis.

Dois segmentos se dizem incomensuráveis se não forem comensuráveis.

Utilizaremos o Teorema abaixo, cuja demonstração pode ser encontrada em [Azevedo].

Teorema 1. (Princípio de Eudoxo ou Método da Exaustão) Sejam , , , , números positivos tais que , , , e assim por diante. Seja . Então existe um inteiro positivo tal que .

O pentágono regular e a incomensurabilidade.

Teorema 2. Em um pentágono regular qualquer, o lado e a diagonal são segmentos incomensuráveis.

Demonstração: Inicialmente provaremos que as diagonais de um pentágono regular determinam um segundo pentágono regular, contido no primeiro, e que são válidas as relações métricas da Figura 2.


Figura 2
Consideremos então um pentágono regular e suas diagonais , , etc. Confira a Figura 3. Cada ângulo interno de um pentágono regular mede . O é isósceles com . Daí .

Figura 3

Como

segue

Do mesmo modo . Por outro lado

do que segue . Portanto todos os ângulos formados pelos lados e diagonais do pentágono com vértices nos pontos , , , e medem .

No temos , e, por ser oposto pelo vértice, , assim como todos os ângulos internos do pentágono . Por serem a eles suplementares os ângulos , , , etc., medem cada um. Portanto

Chamaremos de a esse valor comum.

Observemos que são congruentes os triângulos

do que obtemos . Acabamos de provar que o pentágono menor é regular. Seja a medida do lado desse pentágono.

Assim como ocorre no pentágono maior, temos , e é isósceles. Segue que . Portanto toda diagonal do pentágono menor vale .

Finalmente observemos que é isósceles com , e segue . Ficam assim provadas as relações métricas da Figura 2.

Vamos mudar nossa notação, e chamar de e respectivamente o lado e a diagonal do pentágono maior e de e respectivamente o lado e a diagonal do pentágono menor. Ficou demonstrado que e . Desta última temos . Manipulando essas identidades obtemos

O pentágono menor por sua vez determina um terceiro pentágono com lado e diagonal satisfazendo

E assim sucessivamente, obtemos uma sucessão de pentágonos regulares com lados , ,..., ,... e respectivas diagonais , ,..., ,... obedecendo às relações acima.

Estamos agora na posição de aplicar o Método da Exaustão. Supondo que e são comensuráveis, existe tal que e são múltiplos de . Segue que e são múltiplos de , também e , e assim por diante. Obtemos que é múltiplo de para todo , portanto para todo . Como para todo , aplicando o Método da Exaustão concluímos que existe tal que . Chegamos assim a uma contradição.

Concluímos que em um pentágono regular qualquer o lado e a diagonal são grandezas incomensuráveis.

O pentágono regular e a razão áurea.

Consideremos um segmento e um ponto neste segmento:


Figura 4
Dizemos que o ponto divide o segmento em média e extrema razão quando

Escrevendo e , temos

Portanto é solução positiva de , e .

Assim a posição de no segmento é caracterizada por

O número chama-se razão áurea, um termo aparentemente cunhado por Martin Ohm, irmão mais novo do físico G. S. Ohm, por volta de 1834. Confira [Guy], página 440.

Os matemáticos da Escola Pitagórica perceberam a seguinte propriedade:

Teorema 3. Em um pentágono regular qualquer, as diagonais se dividem umas às outras em média e extrema razão.

Demonstração: Com as notações da figura 3, os triângulos isósceles e são semelhantes. Assim,

Como e , segue

Isto termina a demonstração.

Usando a Figura 2 o estudante poderá verificar que

e

sendo o lado de um pentágono regular, sua diagonal e o lado do pentágono menor determinado pelas diagonais do primeiro pentágono regular.

Referências e Bibliografia.

[Azevedo] Azevedo, E. e Paterlini, R. R., O Método da Exaustão e Aplicações. Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação em Matemática. UFSCar, 2002.

[Boyer] Boyer, C. B., História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher,1974.

[Cromwell] Cromwell, P. R., Polyhedra. Cambridge, Cambridge University Press, 1997.

[Ebbinghaus] Ebbinghaus, H. -D. et alii, Numbers. New York, Springer-Verlag, 1991.

[Fowler] Fowler, D. H., The Mathematics of Plato's Academy. New York, Ed. Oxford University, 1987.

[Guy] Guy, R. K., Review of the "The Mathematics of the Plato's Academy, A New Reconstruction". Amer. Math Monthly, 97, 1990, 440-443.

[Heath] Heath, T. L., A Manual of Greek Mathematics. New York, Dover Publications, 1963.

[Kline] Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Ed. Oxford University, 1972.

[Stillwell] Stillwell, J., Mathematics and Its History. New York, Springer-Verlag, 1987.




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Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.