Figura 1
O MÉTODO DA EXAUSTÃO
PENTÁGONO, INCOMENSURABILIDADE E O MÉTODO DA EXAUSTÃO
Roberto Ribeiro Paterlini
Introdução.
Os pontos de interseção das diagonais de um pentágono regular determinam um segundo pentágono regular. Estudando as relações entre esses dois pentágonos, os matemáticos da Escola Pitagórica descobriram propriedades importantes, como a existência de grandezas incomensuráveis. Alguns historiadores acham que este deve ter sido o primeiro momento em que as grandezas incomensuráveis foram percebidas. Os pitagóricos descobriram também a propriedade notável de que as diagonais de um pentágono regular dividem umas às outras em segmentos de média e extrema razão.
Definições.
Dado um segmento
indicaremos por
seu comprimento.
Dois segmentos dizem-se comensuráveis se são múltiplos de um
segmento comum. Em outros termos, sejam
e
dois segmentos. Se existir um segmento
e se existirem inteiros positivos
e
tais que
e
,
então
e
são múltiplos do segmento comum
,
e assim se dizem comensuráveis.
Dois segmentos se dizem incomensuráveis se não forem comensuráveis.
Utilizaremos o Teorema abaixo, cuja demonstração pode ser encontrada em [Azevedo].
Teorema 1. (Princípio de Eudoxo ou Método da Exaustão)
Sejam
,
,
,
,
números positivos tais que
,
,
,
e assim por diante. Seja
.
Então existe um inteiro positivo
tal que
.
O pentágono regular e a incomensurabilidade.
Teorema 2. Em um pentágono regular qualquer, o lado e a diagonal são segmentos incomensuráveis.
Demonstração: Inicialmente provaremos que as diagonais de um pentágono regular determinam um segundo pentágono regular, contido no primeiro, e que são válidas as relações métricas da Figura 2.
e suas diagonais
,
,
etc. Confira a Figura 3. Cada ângulo interno de um pentágono regular mede
.
O
é isósceles com
.
Daí
.
Como
.
Por outro lado
.
Portanto todos os ângulos formados pelos lados e diagonais do pentágono com
vértices nos pontos
,
,
,
e
medem
.
No
temos
,
e, por ser oposto pelo vértice,
,
assim como todos os ângulos internos do pentágono
.
Por serem a eles suplementares os ângulos
,
,
,
etc., medem
cada um. Portanto
a esse valor comum.
Observemos que são congruentes os triângulos
.
Acabamos de provar que o pentágono menor
é regular. Seja
a medida do lado desse pentágono.
Assim como ocorre no pentágono maior, temos
,
e
é isósceles. Segue que
.
Portanto toda diagonal do pentágono menor vale
.
Finalmente observemos que
é isósceles com
,
e segue
.
Ficam assim provadas as relações métricas da Figura 2.
Vamos mudar nossa notação, e chamar de
e
respectivamente o lado e a diagonal do pentágono maior e de
e
respectivamente o lado e a diagonal do pentágono menor. Ficou demonstrado que
e
.
Desta última temos
.
Manipulando essas identidades obtemos
e diagonal
satisfazendo
,
,...,
,...
e respectivas diagonais
,
,...,
,...
obedecendo às relações acima.
Estamos agora na posição de aplicar o
Método da Exaustão. Supondo que
e
são comensuráveis, existe
tal que
e
são múltiplos de
.
Segue que
e
são múltiplos de
,
também
e
,
e assim por diante. Obtemos que
é múltiplo de
para todo
,
portanto
para todo
.
Como
para todo
,
aplicando o Método da Exaustão concluímos que existe
tal que
.
Chegamos assim a uma contradição.
Concluímos que em um pentágono regular qualquer o lado e a diagonal são
grandezas incomensuráveis.
O pentágono regular e a razão áurea.
Consideremos um segmento
e um ponto
neste segmento:
divide o segmento
em média e extrema razão quando
e
,
temos
é solução positiva de
,
e
.
Assim a posição de
no segmento
é caracterizada por
chama-se razão áurea, um termo aparentemente cunhado por
Martin Ohm, irmão mais novo do físico G. S. Ohm, por volta de 1834.
Confira [Guy], página 440.
Os matemáticos da Escola Pitagórica perceberam a seguinte propriedade:
Teorema 3. Em um pentágono regular qualquer, as diagonais se dividem umas às outras em média e extrema razão.
Demonstração: Com as notações da figura 3, os
triângulos isósceles
e
são semelhantes. Assim,
e
,
segue
Usando a Figura 2 o estudante poderá verificar que
o lado de um pentágono regular,
sua diagonal e
o lado do pentágono menor determinado pelas diagonais do primeiro pentágono
regular.
Referências e Bibliografia.
[Azevedo] Azevedo, E. e Paterlini, R. R., O Método da Exaustão e Aplicações. Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação em Matemática. UFSCar, 2002.
[Boyer] Boyer, C. B., História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher,1974.
[Cromwell] Cromwell, P. R., Polyhedra. Cambridge, Cambridge University Press, 1997.
[Ebbinghaus] Ebbinghaus, H. -D. et alii, Numbers. New York, Springer-Verlag, 1991.
[Fowler] Fowler, D. H., The Mathematics of Plato's Academy. New York, Ed. Oxford University, 1987.
[Guy] Guy, R. K., Review of the "The Mathematics of the Plato's Academy, A New Reconstruction". Amer. Math Monthly, 97, 1990, 440-443.
[Heath] Heath, T. L., A Manual of Greek Mathematics. New York, Dover Publications, 1963.
[Kline] Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Ed. Oxford University, 1972.
[Stillwell] Stillwell, J., Mathematics and Its History. New York, Springer-Verlag, 1987.
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Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.