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O ENSINO DA ARITMÉTICA EM CURSOS DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Roberto Ribeiro Paterlini


Resumo Apresentamos algumas reflexões sobre a necessidade da inclusão do ensino da Aritmética Elementar no currículo dos cursos de Licenciatura em Matemática. Propomos também atividades e assuntos da Aritmética para uso em sala de aula, tendo como fio condutor uma combinação da história das idéias e da gênese dos conceitos. Essas conclusões foram obtidas via aplicação de atividades e textos experimentais na disciplina Introdução à Teoria dos Números, do Curso de Licenciatura em Matemática da UFSCar, nos períodos noturno e diurno.

Introdução Designamos aqui por Aritmética Elementar, ou, simplesmente, Aritmética, a parte da Matemática que trata dos aspectos externos dos modelos numéricos. Exemplos desses aspectos são sistemas de representação de números e algoritmos para implementação das operações fundamentais. Neste trabalho vamos inicialmente encaminhar nossas reflexões no sentido de justificar a inclusão do estudo da Aritmética em cursos de Licenciatura em Matemática.

A Licenciatura em Matemática e a Aritmética A inclusão do estudo da Aritmética nos cursos de Licenciatura em Matemática pode ser examinada sob duas vertentes: a necessidade do licenciando vivenciar os processos matemáticos ali tratados, e o estudo desse assunto do ponto de vista cultural. A Aritmética faz parte da cultura dos povos desde os tempos antigos, tendo sido desenvolvida, juntamente com a linguagem, para atender às necessidades de comunicação e quantificação. Vemos, na história das civilizações, como os povos criaram e recriaram a Aritmética, sob roupagens diferentes, mas utilizando essencialmente os mesmos processos matemáticos, aperfeiçoados ao longo do tempo. Em nossos dias, as experiências de quantificação de objetos e fenômenos fazem parte da vida prática das pessoas, e o estudo da Aritmética é uma necessidade para prover a organização adequada da sociedade e oferecer oportunidades para o indivíduo desenvolver processos matemáticos inerentes à sua estrutura lógica mental.

O ensino da Aritmética faz parte da escolaridade básica dos indivíduos de todas as nações. Nas propostas curriculares adotadas em nosso país, essa matéria está distribuída principalmente nas quatro primeiras séries do Ensino Fundamental. O ensino da Matemática nessas séries é exercido por professores preparados em cursos de Magistério, enquanto o licenciando em Matemática é instrumentalizado para ensinar Matemática nas quatro últimas séries do Ensino Fundamental e na Escola Média. O professor de Matemática da 5a série recebe estudantes que cursaram as quatro primeiras séries. Precisa ele ter conhecimento da matéria de Matemática e dos métodos pedagógicos aplicáveis a essas séries para saber fazer uma avaliação real do nível de aprendizado dos estudantes. Poderá então dar prosseguimento às experiências matemáticas dos alunos tomando como base sua vivência anterior.

Assim, o estudo da Aritmética deve fazer parte dos cursos de Licenciatura. O licenciando precisa ter conhecimento conceitual, técnico e pedagógico dos assuntos da Aritmética, que deve ser apresentada a ele sob os mais variados métodos de ensino, com uso de estratégias diversificadas. Caso contrário, o licenciando conservará, como conhecimento técnico e pedagógico em Aritmética, apenas aquilo que vivenciou como estudante da Escola Fundamental. Em consequência, ao exercer suas atividades de ensino, tenderá a reproduzir posições cristalizadas.

Temos encaminhado nossa tese de que o estudo da Aritmética deve ser incluído nos cursos de Licenciatura em Matemática. Entretanto, não somos favoráveis à presença no currículo de disciplinas que têm como objetivo exclusivo a reciclagem das matérias do Ensino Fundamental e Médio, a título de suprir possíveis deficiências dos estudantes no conhecimento desses conteúdos. Essas matérias devem estar presentes no currículo de forma criativa, e apresentadas com uma prática pedagógica inovadora em comparação com os padrões tradicionais de ensino.

A metodologia adotada Em 1989 foi introduzida no Curso de Licenciatura em Matemática da UFSCar, período diurno, a disciplina Introdução à Teoria dos Números. Nessa disciplina são estudados aspectos extrínsecos e intrínsecos dos números. Os aspectos extrínsecos são assunto da Aritmética, e seu estudo ocupa aproximadamente 30 horas/aula, metade do tempo disponível. A outra metade é ocupada com atividades em Teoria dos Números, com o estudo de divisibilidade e números primos, incluindo experimentos computacionais. Em 1996 esta disciplina começou a ser lecionada também no então recém-criado Curso de Licenciatura do período noturno.

Temos lecionado essa disciplina diversas vezes, e procuramos adotar uma postura inovadora, tanto no que diz respeito ao conteúdo quanto aos métodos pedagógicos. Passamos a expor as principais conclusões dessa experiência.

Vamos primeiro descrever brevemente a metodologia adotada. Ao lecionar esta disciplina procuramos incorporar as idéias dos métodos histórico e genético para a escolha e seqüencialização dos assuntos. A expressão método genético parece ter sido utilizada pela primeira vez por Otto Toeplitz em 1926. Autor de um livro didático de Cálculo Diferencial e Integral [6], onde usou esse método, Toeplitz estava convencido de que apenas com a apresentação da gênese e desenvolvimento dos conceitos e técnicas do Cálculo os estudantes podem alcançar sua compreensão. Harold M. Edwards também utilizou o método genético em sua apresentação do Último Teorema de Fermat [2]. Segundo esse autor, a melhor maneira de compreender uma teoria matemática abstrata é ignorar os tratados modernos até que se tenha estudado sua gênese. Por outro lado, pesquisando a história do desenvolvimento de um conceito podemos acompanhar sua construção lógico-dedutiva através dos tempos, e examinar as idéias mais simples que precederam sua acepção plena. Essas idéias podem sugerir atividades que estimulem as fases iniciais e intermediárias na construção de um conceito, permitindo-nos propor seqüências ensino-aprendizagem adequadas para estudantes dos mais variados níveis de experiência.

Jean Piaget, psicólogo suiço, criador da Teoria Psicogenética.
Piaget acreditava que se quisermos compreender o conhecimento humano temos que estudar sua origem e evolução na história. Segundo Constance Kamii, especialista em ensino da Matemática da Universidade do Alabama, Estados Unidos, a criança tem que passar por um processo construtivo similar ao de nossos ancestrais, ao menos em parte, para que compreenda a matemática moderna. Em suas experiências essa pesquisadora encontrou paralelos importantes entre os procedimentos inventados pelas crianças em Aritmética e aqueles criados pela humanidade no passado.
(adaptado de [4], páginas 39 e 40)

Uma proposta de conteúdo. No quadro abaixo sintetizamos nossa proposta de conteúdo e seus respectivos objetivos educacionais.

Conteúdo Objetivo Geral
Sistemas de numeração
históricos.
Etno-sistemas.
História da Cultura.
Conceito de numeral.
Relativização do sistema de
numeração usual.
Sistemas de numeração
posicionais.
Generalização do sistema
de numeração decimal.
Número. Observação de um
conceito abstrato.
Operações fundamentais
da Aritmética: adição,
subtração, multiplicação
e divisão.
Compreensão da gênese dos conceitos
e diversificação da
abordagem das operações.
Apreensão das propriedades.
Algoritmos para as
operações fundamentais
em sistemas de numeração
posicionais.
Algoritmos históricos.
Generalização e relativização
dos algoritmos e procedimentos
usuais.

Assuntos adicionais podem ser abordados através do desenvolvimento de projetos, como pesquisa bibliográfica, resolução de problemas e redação de monografias ou trabalhos em grupo. Eis uma lista de assuntos: representação posicional de números fracionários, sistemas de medida, história do ábaco, jogos aritméticos, estratégias para o cálculo aritmético mental, estratégias de cálculo estimativo, problemas de adivinhação com números, representação de grandes números, Teorema de Existência e Unicidade para sistemas posicionais, sistemas com bases não usuais, como inteiros negativos e expansão de Cantor. Faz parte ainda da Aritmética Elementar o estudo da representação discreta de números para uso em máquinas digitais, algoritmos, processos de estimativa de erros, estudo das teorias sobre a construção psicológica do número, aspectos culturais dos sistemas de numeração, história das máquinas de calcular. Outras atividades são ainda realizadas pelos estudantes, como criação e apresentação de uma peça teatral sobre números, entrevistas com analfabetos para saber como eles lidam com números, entrevistas com calculistas habilidosos em fazer cálculos aritméticos, a presença do número na mídia, histórias sobre números.

Passamos a detalhar o conteúdo e os objetivos educacionais do quadro acima.

Sistemas de numeração históricos e etno-sistemas. Os antropólogos, pesquisando os costumes e formas de expressão de inúmeras tribos indígenas autóctones, descobriram que elas usavam sistemas de numeração bastante simples. Exemplos podem ser encontrados em tribos indígenas da Austrália e das ilhas Murray, no Estreito de Torres, em tribos africanas, como as dos pigmeus, e em tribos americanas, tanto da América do Norte como do Sul. O estudo desses sistemas nos possibilita perceber como nasceram as primeiras idéias matemáticas e, em particular, ter uma noção dos passos seguidos pelo homem na invenção dos numerais. Observamos estágios de abstração bastante concretos, e sua evolução para estágios superiores. Vemos também como deve ter sido o nascimento do conceito de base numérica e das regras de contagem, e a gênese da operação de adição.

Por outro lado, na História da Matemática, encontramos inúmeros exemplos de sistemas de numeração aditivos. Os mais importantes são os sistemas do Egito Antigo, como o Hieroglífico e o Hierático, os sistemas da Grécia Antiga, como o Ático e o Jônico, e o sistema romano. O antigo sistema multiplicativo chinês pode ser visto como um passo intermediário entre os sistemas aditivos e os posicionais. Destes últimos, os sistemas históricos conhecidos são o babilônico e o maia, seguindo-se o sistema hindu, do qual derivou o sistema decimal hoje em uso. Os sistemas históricos nos apresentam as mais diferentes concepções e idéias de regras de contagem e métodos de representação.

Esta seqüencialização nos dá o ensejo de relacionar a Matemática com outros ramos do conhecimento, como História, Antropologia, Geografia, Arte e Linguística. Do ponto de vista do ensino da Matemática, é uma oportunidade de reconstrução de uma descoberta fundamental para o homem. Além disso, para que nossa mente tenha clareza da relatividade da representação decimal, é necessário o conhecimento de diferentes tipos de representacão. Caso contrário, o sistema decimal pode assumir um caráter absolutista, e sua expressão confundir-se com o conceito de número.

Algarismos cretenses (1350 a 1200 a. C.)
1 10 100 1000 10000
Algarismos do sistema de numeração micênico, usado em Creta de 1350 a 1200 a. C. (confira [3], pg. 378). A composição dos números era feita mediante o uso do princípio aditivo. Notemos que o símbolo para 10000 era composto mediante a junção dos símbolos dos algarismos 10 e 1000, o que demonstra que usaram também o princípio multiplicativo, pelo menos em parte. O estudo dos sistemas numéricos históricos pode ser uma oportunidade para o professor de matemática implementar a prática da interdisciplinaridade com outros ramos do conhecimento.

Sistemas de numeração posicionais. O estudo dos sistemas de numeração posicionais de base não decimal é de grande interesse hoje, devido ao uso dos sistemas binário e hexadecimal em computadores digitais. Para o licenciando, esse estudo assume outras conotações. A contagem e o uso de algoritmos em bases não decimais propiciam uma melhor compreensão do mecanismo dos sistemas posicionais e uma generalização do sistema usual. Repete-se aqui o objetivo pedagógico do item anterior, qual seja, a apreensão da relatividade do sistema usual, com o rompimento do elo entre o conceito de número e o sistema hindu-arábico, imposto pelo método tradicional de ensino da Matemática. Nesse contexto, o licenciando deve ter a oportunidade de atualizar e aprofundar seus conhecimentos do sistema decimal. Pode-se incluir assuntos não usuais, como regras gramaticais para a escrita dos nomes dos números, legislação oficial sobre representações numéricas, e as diferenças de estrutura entre o sistema decimal e sua representação no vernáculo.

Número. O estudo dos sistemas de numeração do ponto de vista cultural e histórico permite a relativização do sistema usual, facilitando a observação do número como conceito abstrato. Este é um trabalho delicado, e se espera que, nesse ponto, o licenciando tenha compreensão da profundidade da idéia abstrata de número, seu uso relativo na Matemática como quantificador, e a impermanência dos sistemas de representação.

Operações fundamentais da Aritmética Assumimos como operações fundamentais da Aritmética a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. As definições dessas operações podem utilizar parâmetros de simplicidade e clareza, com idéias que possam ser transpostas para uma sala de aula da Escola Fundamental. Deve-se pôr atenção nas idéias e na linguagem com que elas são comunicadas, sem preocupação maior em inserir as definições em uma estrutura axiomática. O mesmo ocorre com as propriedades algébricas das operações, que podem ser extraídas das definições mediante um trabalho de compreensão dos conceitos.

Algoritmos para as operações fundamentais Os algoritmos utilizados atualmente para implementar as operações fundamentais da Aritmética constituem uma síntese de um longo processo de desenvolvimento. De modo geral, o objetivo do aperfeiçoamento de um algoritmo é levá-lo a adaptar-se com perfeição ao sistema de numeração utilizado e ao instrumento ao qual se destina (ábaco, papel e lápis, computador digital). Além disso, deve propiciar economia no tempo de execução e facilidade de uso.

O licenciando, ao estudar Aritmética, precisa ter a oportunidade de adquirir clareza sobre a dimensão prática dos algoritmos aritméticos e sobre seus processos de invenção e desenvolvimento. A apreensão dessas idéias é um objetivo pedagógico essencial para o futuro professor. A consecução desses objetivos educacionais pode ser alcançada pelo licenciando com o estudo do desenvolvimento histórico dos algoritmos e com a aplicação dos algoritmos usuais aos sistemas de numeração posicionais. Ao apresentar seu desenvolvimento histórico, evitamos que os algoritmos usuais, com suas regras estritas, assumam papel dogmático. E quando o licenciando implementa um algoritmo em um sistema posicional com base diferente de dez, ele não conta mais com os dados que tem na memória desde a infância. Isto lhe dá a chance de compreender efetivamente o mecanismo do algoritmo, e as dificuldades que ele encontra são semelhantes às que tem uma criança quando aprende o algoritmo no sistema decimal.

Considerações sobre algumas estratégias adotadas Nas ocasiões em que lecionei Introdução à Teoria dos Números no Curso de Licenciatura em Matemática da UFSCar adotei algumas estratégias para me aproximar dos estudantes e observar de perto suas necessidades de aprendizagem. Dessas estratégias as mais adequadas eram as atividades de resolução de problemas, individualmente ou em grupos. Passo a descrever brevemente alguns dos problemas que utilizava com o objetivo de produzir movimentos de relativização do sistema usual de numeração.

Problema 1: Contar em sistemas posicionais com base diferente da usual. Por exemplo, contar na base seis de 1 a (200)6 usando os símbolos 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Em condições normais, quando contamos na base dez, não precisamos raciocinar pois fomos treinados em memorizar a sucessão numérica decimal. Para contar em outra base necessitamos refazer nossa compreensão do sistema usual e adquirir uma técnica de contagem independente de memorização, por exemplo, aplicar uma regra de sucessão.

Problema 2: Implementar os algoritmos aritméticos usuais em sistemas posicionais com base diferente de dez. Os estudantes ficam surpresos em saber que os algoritmos usuais funcionam em sistemas de representação posicional de qualquer base. E, ao aplicá-los a sistemas não decimais, é necessário compreender mais efetivamente o mecanismo do algoritmo, já que não é mais possível depender de memorização.

Adição dos números (365)7 e (254)7 no sistema posicional de base sete.
Implementar os algoritmos usuais para realizar operações aritméticas em sistemas posicionais de base não decimal é um recurso pedagógico que pode ser utilizado para relativizar o treinamento do sistema decimal e desconectar do algoritmo a apreensão do conceito da operação.

Problema 3: Usando apenas contagem, implementar qualquer operação aritmética em sistemas posicionais com base diferente da usual. Na Idade Média, na Europa, a contagem era considerada a primeira operação aritmética. Seguiam-lhe a adição, a duplicação, a mediação, etc. Na verdade, todas as operações aritméticas se reduzem à contagem, e pude observar que, quando o estudante compreende essa propriedade, consegue realizar um movimento de síntese que facilita a compreensão da gênese dos conceitos.

Problema 4: Usar sistemas históricos primitivos ou de civilizações antigas para realizar certas tarefas. Por exemplo, fazer um cartaz para uma loja sobre venda de geladeira usando o sistema aditivo de base um, ou fazer uma conta de multiplicação usando o sistema romano de representação numérica. A dificuldade em realizar essas tarefas ajudam o estudante a compreender porque esses sistemas estão hoje em desuso e porque nossa civilização adota universalmente o sistema de representação numérica decimal.

Conclusão A Aritmética, desenvolvida por todos os povos para atender às necessidades de comunicação e quantificação, faz hoje parte da escolaridade básica de todas as nações. O estudo da Aritmética em cursos de Licenciatura em Matemática, implementado através de práticas pedagógicas adequadas, permite ao licenciando generalizar e relativizar o sistema numérico decimal e os algoritmos aritméticos usuais, assim como compreender a gênese e o desenvolvimento dos conceitos. Estará assim o professor melhor instrumentalizado para o ensino da Matemática na Escola Fundamental.

Bibliografia

[1] Crump, T., The Anthropology of Numbers. Cambridge University Press, 1990.

[2] Edwards, H. M., Fermat's Last Theorem, a Genetic Introduction do Algebraic Theory. New York, Springer Verlag, 1977.

[3] Ifrah, G., História Universal dos Algarismos,, Tomo 1. Rio de Janeiro, Editora Nova Fronteira, 1997.

[4] Kamii, C., Desvendando a Aritmética, implicações da Teoria de Piaget. 2a edição. Campinas, Editora Papirus, 1995.

[5] Robertson, J. I., How to do Arithmetic, em American Mathematical Monthly, no 86, 1979, páginas 431 a 439.

[6] Toeplitz, O., The Calculus, a Genetic Approach. Chicago, The University of Chicago Press, 1963.

[7] Smith, D. E., History of Mathematics, volumes I e II. New York, Dover Publications, 1958.

[8] Waerden, B. L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. New York, Springer Verlag, 1983.


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Original apresentado em TEX por Roberto R. Paterlini, do Departamento de Matemática da UFSCar e parcialmente transladado para html pelo sistema TTH 1.57. A primeira figura desta página foi obtida em ClipsAhoy. Os símbolos do sistemas cretense foram construídos pelo autor. A foto de Piaget foi adaptada de uma foto de Landerberg http://www.piaget.org/
Publicado em 08/09/2000. Atualizado em 12/05/2002.