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HOTEL GEORG CANTOR


O cansado viajante vê o comprido hotel à beira da estrada e se aproxima com intenção de pedir pousada. Não se intimida com o aviso "Estamos lotados". Eles devem ter algum quarto, pensa consigo mesmo.
- Sim, temos vaga, responde-lhe o recepcionista, olhando de soslaio para o gerente.
- Como, ironiza o viajante, têm vagas e colocam o aviso "Estamos lotados" ?!!
- Perfeitamente, intervém polidamente o gerente, estamos lotados e temos vagas. O Sr. ficará no quarto no 1. Assine o livro de hospedagem, por favor.
O viajante hesita em iniciar uma discussão. Enquanto assina o livro ouve o gerente falar ao microfone:
- Srs. hóspedes do Hotel Georg Cantor, acaba de chegar mais um viajante. Conforme o combinado, cada um deve deixar seu quarto e ocupar o quarto consecutivo.
Vendo que o viajante o olha interrogativamente, o gerente lhe explica, com infinita paciência:
- Uma das regras deste hotel, que o Sr. aceitou quando assinou o livro de hospedagem, é que sempre que chega um novo hóspede o ocupante do quarto $n$ deve mudar-se para o quarto $n+1$.
- Sim, observa o viajante, mas o que faz o hóspede do último quarto?
- Não temos um último quarto, replica o gerente. O Hotel Georg Cantor tem um número infinito de quartos.
Sentindo-se extenuado, o viajante resolve ignorar o enigma.

Assim prossegue a rotina do Hotel Georg Cantor, rotina esta só quebrada quando chega à estação próxima o trem infinito. Uma quantidade infinita de viajantes acorre ao hotel em busca de hospedagem. O recepcionista avisa pelo microfone:
- Srs. hóspedes do Hotel Georg Cantor, acaba de chegar um número infinito de viajantes. Conforme o combinado, o hóspede do quarto $n$ deve mudar-se para o quarto $2n$ ...
O recepcionista, percebendo que o gerente lhe faz um sinal, continua:
- ... ou melhor, o hóspede do quarto $n$ deve mudar-se para o quarto $3n$. Os novos hóspedes ocuparão os quartos $3n+1$. Os quartos $3n+2$ ficarão vazios, assim teremos sossego por algum tempo.

PS Soube há pouco tempo que o Hotel Georg Cantor havia mudado as regras. Os hóspedes, revoltados com as constantes mudanças de quarto, ameaçaram usar um estratagema para não pagar a conta. O hóspede do quarto $n$ deixaria na recepção uma nota promissória se comprometendo a pagar as contas do hóspede do quarto $n-1$. O gerente ainda tentou salvar a situação. Pensou em cobrar diária de $1/n$ do hóspede do quarto $n$. "Como $1/(n+1) < 1/n$ o hóspede do quarto $n$ não se importará em passar para o quarto $n+1$", pensou o gerente. "E como

\begin{displaymath}1+{1\over 2} + {1\over 3} +{1\over 4} +{1\over 5} +\ldots +{1\over n} +\ldots =\infty\end{displaymath}

poderei pagar qualquer despesa de manutenção do hotel."
Mas o contador o fez ver que não era bem assim. Sendo 20 a despesa diária de cada quarto, explicou, teríamos um deficit de $20-(1/n)$ para o $n$-ésimo quarto, do que resultaria um prejuízo diário total de

\begin{displaymath}(20-1)+(20-{1\over 2}) +(20-{1\over 3}) +(20-{1\over 4}) +\ldots + (20-{1\over n}) + \ldots =\infty .\end{displaymath}

Hoje o Hotel Georg Cantor só aceita um número infinito de hóspedes, nem um a mais.

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Apresentado para publicação em 20/11/2001 por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar.
Fontes utilizadas:
[1] Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E., Morgado, A. C., A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro, 1996, págs. 48 e 49.
[2] O Hotel Hilbert. Vídeo da Open University e BBC, Inglaterra. Da coleção Por onde anda a Matemática, do MEC.
[3] Lesser, L. M., Hotel Infinity. Humanistic Mathematics Network Journal, n 24, pág. 6.
Preparado para publicação na Internet por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar. Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira General License Agreement and Lack of Warranty sobre condições de uso.
Publicado no Hipertexto Pitágoras em 09/01/2002. Atualizado em 30/07/2002.