Transformações Lineares - Caso Geral

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Tópicos Abordados

Representação Matricial de Transformações Lineares

Este módulo é motivado pelos estudos anteriores sobre Transformações Lineares no plano e

no espaço, e o seu conteúdo abrange Transformações Lineares em geral e as propriedades que

podem ser estudadas via Maple V.

Dada uma transformação linear T : V -> W entre dois espaços vetoriais de dimensões finitas

n e m , respectivamente, sobre R ( ou C ) , se [Maple Math] = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } e [Maple Math] = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } são

duas bases dadas de V e W , respectivamente, temos a seguinte situação :

- Um vetor qualquer v de V se escreve de maneira única como [Maple Math] + ... + [Maple Math]

- O vetor imagem de v pela transformação T é dado por :

[Maple Math] = [Maple Math] + [Maple Math] + ... + [Maple Math]

Portanto, o conhecimento das imagens dos vetores da base [Maple Math] determina comple-

tamente a imagem T.v de qualquer vetor v de V .

- Cada vetor imagem T.v j , j = 1 , ... , n, por sua vez, escreve-se de maneira única como :

[Maple Math] = [Maple Math] + ... + [Maple Math] j = 1, ... , n

- As coordenadas [Maple Math] , i = 1, ... , m e j = 1, ... , n acima, podem ser arranjadas sob for-

ma de uma matriz m x n A = [ [Maple Math] ] m x n , chamada matriz da transformação T em

relação às bases [Maple Math] e [Maple Math] . Note que esta matriz A depende das bases previamente fi-

xadas.

B 1

Denotamos esta matriz por : T ]

B 2

Observemos que a j-ésima coluna desta matriz representa as coordenadas do vetor

imagem T. [Maple Math] do j-ésimo vetor da base [Maple Math] , obtidas em relação à base [Maple Math] .

- Retomando o vetor T.v , imagem do vetor inicial v , este se escreve de maneira única

como [Maple Math] = [Maple Math] + ... + [Maple Math] , em relação à base [Maple Math] .

Conclusão

Verifica-se a igualdade matricial

___________________________________________________________________

n

[Maple Math] = [ [Maple Math] ] m x n [Maple Math] oriunda da equação vetorial [Maple Math] = å [Maple Math] [Maple Math] .

j = 1

___________________________________________________________________

Em outras palavras, fixadas duas bases [Maple Math] e [Maple Math] , respectivamente do domínio e contra-

domínio de uma transformação linear T : V -> W , o estudo desta transformação fica reduzido

ao estudo da sua representação matricial A , e a transformação sobre um vetor v de V se com-

porta simplesmente como uma multiplicação pela direita de A pela matriz coluna das

coordenadas de v em relação à base [Maple Math] . Sendo

[Maple Math]

A = T ]

[Maple Math]

este fato é denotado por :

[Maple Math] = [Maple Math]

Quando as bases fixadas são outras , digamos [Maple Math] de V e [Maple Math] de W , então a matriz

[Maple Math]

B = T ] que representa a mesma transformação T , agora em relação às bases [Maple Math] e [Maple Math] ,

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

satisfaz a seguinte relação entre A = T ] e B = T ] : D 2

[Maple Math] [Maple Math]

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

T ] = I ] T ] I ]

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

IMPORTANTE : Lembremos da matriz mudança de base !

A seguir daremos um exemplo de cálculo de matriz de representação de uma transformação

linear.

Exemplo: Seja V o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 5. Consideremos

a transformação linear dada pela derivação, isto é, seja a transformação linear :

T : V -> V, definida por T ( p ( t ) ) = p'( t ).

Dado um polinômio p( t ) = [Maple Math] temos :

T ( p ( t ) ) = [Maple Math] .

Fixada a base natural de V , B = { [Maple Math] } temos os seguintes cálculos :

T( 1 ) = 0 = [Maple Math]

T( t ) = 1 = 1 1 + [Maple Math]

[Maple Math] = [Maple Math] = [Maple Math]

T( [Maple Math] ) = [Maple Math] = [Maple Math]

T( [Maple Math] ) = [Maple Math] = [Maple Math]

T( [Maple Math] ) = [Maple Math] = [Maple Math]

Portanto a matriz que representa a transformação T relativa à base fixada B é dada

por :

> A:= matrix ([[0,1,0,0,0,0],[0,0,2,0,0,0],[0,0,0,3,0,0],[0,0,0,0,4,0], [0,0,0,0,0,5],[0,0,0,0,0,0]]);

[Maple Math]

>

Observe a posição dos vetores coordenadas das imagens dos vetores da base B

disposta em colunas . Esta matriz tem a propriedade fundamental de uma matriz de represen-

tação verificada :

[ T ( p ( t ) ) ] = A . [ p ( t ) ]

B B

De fato, sendo o vetor das coordenadas de um polinômio p(t) na base B dado por :

> p_t:= vector([a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],a[5]]);

[Maple Math]

Calculando a sua imagem pela T, temos :

> T_p_t:= evalm(A&*p_t);

[Maple Math]

>

A solução obtida com a última linha de comando confirma o resultado esperado.

A título de complementar o exemplo, o comando do Maple utilizado em Cálculo Diferencial,

confirma o resultado da derivação de uma função:

Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear

Dada T : V -> W uma transformação linear , dois subespaços vetoriais exercem papel fun-

damental .

N( T ) = { v Î V : Tv = 0 }, subespaço de V, chamado Núcleo ou Kernel de T .

Im( T ) = { Tv Î W : v Î V }, subespaço de W, consistindo de Imagem de T .

Quando V e W têm dimensão finita e [Maple Math] = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } é uma base de V e [Maple Math] = { [Maple Math] ,..., [Maple Math] }

é uma base de W, o estudo de N( T ) e Im( T ) se reduz às técnicas vistas nos módulos anteriores.

Observemos que o software é útil enquanto efetua cálculos envolvendo espaços de dimensão

finita . O alcance da teoria de Álgebra Linear é bem maior.

Nas aulas teóricas, as seguintes propriedades dos subespaços N( T ) e Im( T ) são desenvol-

vidas :

- T é injetora se, e somente se, N( T ) = { 0 }

- Se dim V = n e B = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } é uma base de V , então Im( T ) é o subespaço de

W gerado por { T [Maple Math] , T [Maple Math] , ... , T [Maple Math] }.

[Maple Math]

Em termos computacionais, quando dim V = n e dim W = m e A = T ] é uma repre-

[Maple Math]

sentação matricial de uma transformação linear T : V -> W relativa à base [Maple Math] de V e à base [Maple Math]

de W , o núcleo corresponde a N( T ) = { v Î V, tal que A v ] = 0 ] } , isto é :

[Maple Math] [Maple Math]

v = [Maple Math] + ... + [Maple Math] é um vetor de N( T ) se, e só se, a n-upla ( [Maple Math] , ... , [Maple Math] ) é solução

do sistema homogêneo A [Maple Math] = [Maple Math]

O comando nullspace (A) ( ou kernel (A) ) calcula uma base para o subespaço N( T ) .

Logo, a primeira propriedade pode ser reescrita como :

- T é injetora se, e somente se, nullspace (A) = { vetor nulo } para uma representação

matricial A de T .

Exemplos :

1) Rotação anti-horária de 45º no plano :

> T:=matrix([[cos(Pi/4),-sin(Pi/4)],[sin(Pi/4),cos(Pi/4)]]);

[Maple Math]

> nullspace(T);

[Maple Math]

>

Conclusão : T é injetora .

2) Projeção do R³ sobre o plano 2x + 3y - z = 0 . A representação matricial foi obtida

no módulo anterior como :

> T:=matrix([[5/7,-3/7,1/7],[-3/7,5/14,3/14],[1/7,3/14,13/14]]);

[Maple Math]

> nullspace(T);

[Maple Math]

>

Conclusão : T não é injetora . Além disso, vemos que o núcleo de T é gerado pe-

lo vetor normal ao plano dado.

3) Considere a matriz T definida abaixo :

> T:=matrix([[1,2,-3],[2,1,0],[-2,-1,3],[-1,4,-2]]);

[Maple Math]

> nullspace(T);

[Maple Math]

>

Conclusão : T é injetora .

O comando colspace (A) calcula uma base para o subespaço gerado por vetores coluna de A.

Portanto, o comando colspace (A) encontra uma base para Im( T ) = [ T [Maple Math] , ... , T [Maple Math] ] ,

[Maple Math]

quando A = T ] .

[Maple Math]

A segunda propriedade pode então ser reescrita :

- Se [Maple Math] = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } é uma base de V e [Maple Math] = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } é uma base de W,

[Maple Math]

então Im( T ) = [ colspace ( T ] ) ] .

[Maple Math]

[Maple Math]

Temos que rank ( T ] ) é o posto da transformação linear T e corresponde à dimen-

[Maple Math]

são do subespaço Im( T ) . Logo, temos a seguinte propriedade :

- T é sobrejetora se , e somente se , Im( T ) = W e rank ( A ) = dim W , quando A é

uma representação matricial de T . Uma observação a ser feita é que o posto de uma ma-

triz é igual ao posto de sua transposta, então é indiferente se o comando rank ( A ) é apli-

cado sobre a matriz A ou sobre a matriz transposta de A.

Outra propriedade importante é a seguinte:

- Se T é injetora e [Maple Math] = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } é uma base de V, então o conjunto :

{ T [Maple Math] , ... , T [Maple Math] } é L.I. .

[Maple Math]

Portanto, se [Maple Math] = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } é uma base de W e A = T ] , as n colunas de [Maple Math]

[Maple Math]

são L.I. .

Exemplo: T : R³ -> [Maple Math] definida por T ( x , y , z ) = ( x , 2x + y , 3x - z , y + z ).

Fixemos as bases canônicas : [Maple Math] de R³ e [Maple Math] de [Maple Math] .

( x , y , z ) é um vetor de N( T ) se T( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) , isto é , se ( x , y , z )

for solução do sistema linear.

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

A matriz do sistema é :

> T:=matrix([[1,0,0],[2,1,0],[3,0,-1],[0,1,2]]);

[Maple Math]

O comando nullspace( T ) calcula a base de N( T ) .

> nullspace(T);

[Maple Math]

>

Logo, N( T ) = { ( 0 , 0 , 0 ) } e conclui-se que T é injetora .

Temos os vetores T [Maple Math] , T [Maple Math] e T [Maple Math] que são imagens da base [Maple Math] .

> v1:=vector([1,0,0]);

[Maple Math]

> v2:=vector([0,1,0]);

[Maple Math]

> v3:=vector([0,0,1]);

[Maple Math]

> imagem_v1:=evalm(T &* v1);

[Maple Math]

> imagem_v2:=evalm(T &* v2);

[Maple Math]

> imagem_v3:=evalm(T &* v3);

[Maple Math]

O conjunto { T [Maple Math] , T [Maple Math] , T [Maple Math] } é L.I. , pois a matriz B está na forma escalonada.

> B:=matrix([[1,2,3,0],[0,1,0,1],[0,0,-1,2]]);

[Maple Math]

> rank(B);

[Maple Math]

O posto de B é 3 .

Utilizando o comando "colspace( )", podemos confirmar :

> colspace(T);

[Maple Math]

O comando acima permite obter uma base para o subespaço gerado pelas colunas de T, isto é, o subespaço Im(T), portanto de dimensão 3. Os vetores obtidos e as linhas da matriz B acima geram o mesmo subespaço.

>

Podemos concluir que uma base para Im( T ) é formada por { T [Maple Math] , T [Maple Math] , T [Maple Math] } e

T não é sobrejetora, pois dim Im( T ) ¹ dim [Maple Math] .

[Maple Math]

Observamos que A ] é a matriz cujas colunas são as coordenadas de {T [Maple Math] ,T [Maple Math] ,T [Maple Math] }

[Maple Math]

relativas à base [Maple Math] e é obvio que A é a transposta da matriz B acima.As colunas de A são as

linhas de B e, portanto, são L.I. .

[Maple Math]

Observamos que a matriz A = T ] é exatamente a matriz de coeficientes do sistema

[Maple Math]

linear homogêneo considerado para calcular o núcleo .

O comando colspace( A ) retorna uma base para Im( T ).

Algumas conseqüências podem ser enunciadas :

- Se T : V -> W é injetora e dim V = n , então a imagem de T , Im ( T ), é um subespaço

de dimensão n de W . Logo, n £ m .

[Maple Math]

- Se T : V -> W é sobrejetora e A = T ] é uma matriz m x n que representa T relativa

[Maple Math]

às bases [Maple Math] de V e [Maple Math] de W, então posto de A é m . Logo, n ³ m .

_____________________________________________________________________________

O Teorema do Posto e Nulidade estabelece : n = nulidade (A) + posto(A)

_____________________________________________________________________________

Algoritmo para a Análise de N ( T ) e Im ( T )

Dada uma transformação linear T : V -> W com dim V = n e dim W = m :

[Maple Math]

- Fixadas as bases [Maple Math] de V e [Maple Math] de W, calcular A = T ]

[Maple Math]

- Com o comando nullspace ( A ) achar uma base para N( T ) .

Se N( T ) = { 0 }

então

T é injetora e Im( T ) tem dimensão igual à de V.

senão

T não é injetora, e Im (T) tem dimensão menor que a dimen-

são de V.

- Com o comando colspace ( A ) achar uma base para Im ( T ) .

Se dim Im( T ) = m

então

T é sobrejetora e a dimensão de V é maior ou igual à dimensão

de Im( T ).

senão

T não é sobrejetora e dim Im( T ) é menor que m = dim W.

Exemplo:-

T : R³ ->

( x , y , z ) -> ( 2x + y , z )

Como exercício, aplique o algoritmo com as bases canônicas para analisar se T é sobrejetora .

T pode ser injetora ?

Para ilustrar o algoritmo acima descrito, desenvolveremos a seguir com as bases [Maple Math] e [Maple Math] , de-

finidas abaixo :

[Maple Math] = { [Maple Math] = ( 1 , 0 , 1 ) , [Maple Math] = ( 0 , 1 , 1 ) , [Maple Math] = ( 0 , 0 , 2 ) } de R³

[Maple Math] = { [Maple Math] = ( 2 , 1 ) , [Maple Math] = ( -1 , 2 ) } de R²

[Maple Math]

Cálculo de A = T ] :

[Maple Math]

Pelo módulo anterior :

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

T ] I = I A

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

A = T ] = I T ] I

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

[Maple Math]

onde T ] é dada pela matriz Matriz_Transformacao_ [Maple Math] _ [Maple Math] definida abaixo,

[Maple Math]

que representa a transformação relativa às bases canônicas:

> Matriz_Transformacao_C1_C2 := matrix([[2,1,0],[0,0,1]]);

[Maple Math]

Matriz mudança da base [Maple Math] para [Maple Math] :

> Mudanca_B1_C1:=transpose(matrix([[1,0,1],[0,1,1],[0,0,2]]));

[Maple Math]

Matriz mudança da base [Maple Math] para [Maple Math] :

> Mudanca_C2_B2:=inverse(transpose(matrix([[2,1],[-1,2]])));

[Maple Math]

A é matriz de transformação de B 1 para B 2 :

> A:=evalm(Mudanca_C2_B2 &* Matriz_Transformacao_C1_C2 &* Mudanca_B1_C1);

[Maple Math]

> rank(A);

[Maple Math]

>

Posto de A = 2 . Isto significa que T é sobrejetora e conjunto { [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] } não é

L.I. , mas apenas um conjunto gerador de Im( T ) .O comando colspace( A ) calcula uma base

a partir desse conjunto gerador. Entretanto, como temos Im( T ) = R² por razões de dimensão,

não há necessidade desse cálculo, visto que a base canônica de R² já é uma base para a imagem

de T.

Para finalizar o módulo temos :

[Maple Math]

- Se T é injetora e sobrejetora , então dim V = dim W = n e a matriz A = T ] tem

[Maple Math]

posto n .

Se [Maple Math] = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } é uma base de V, então o conjunto { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } é uma base

de W .

Neste caso, dizemos que T é um isomorfismo , e V e W são espaços vetoriais isomorfos .

Observação : Quando dois espaços vetoriais V e W possuem a mesma dimensão finita,

então é sempre possível estabelecer um isomorfismo entre V e W. Discuta este problema na au-

la teórica.

Exemplo:

[Maple Math] e [Maple Math] são espaços isomorfos.

T : [Maple Math] -> [Maple Math] , que associa a cada polinômio p( t ) = [Maple Math] + [Maple Math] + ... + [Maple Math]

o vetor T( p ( t ) ) = ( [Maple Math] , [Maple Math] , ... , [Maple Math] ) em [Maple Math] , é um isomorfismo.

De fato, fixadas as bases usuais [Maple Math] e o vetor [Maple Math] , como [Maple Math] = { 1 , t , ... , [Maple Math] }

e [Maple Math] = Canônica de [Maple Math] , respectivamente, temos :

[Maple Math]

T ] = [Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

T ] = [Maple Math]

[Maple Math]

A título de ilustração, considere [Maple Math] e [Maple Math] :

[Maple Math] = { 1 , t , [Maple Math] }

[Maple Math] = { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) }

> T_B1_B2 := matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);

[Maple Math]

> nullspace(T_B1_B2);

[Maple Math]

Logo, T_B1_B2 é injetora .

> rank(T_B1_B2);

[Maple Math]

>

Posto de T _ [Maple Math] _ [Maple Math] é 3 ( n + 1 = 2 + 1 ). Logo, é T _ [Maple Math] _ [Maple Math] sobrejetora .

Álgebra Matricial e Representação de Transformações Lineares

Uma das grandes vantagens de trabalhar com as representações matriciais de transformações

lineares se deve ao fato que as operações que podemos efetuar com as transformações lineares se

traduzem como operações matriciais correspondentes . Mais precisamente temos a seguinte situa-

ção:

1) Adição de Transformações Lineares

Duas transformações lineares T : V - > W e S : V -> W entre dois espaços vetoriais V e

W podem ser adicionadas, produzindo uma Transformação Linear T + S : V -> W definida

por :

( T + S ) ( v ) = T ( v ) + S ( v ) para cada v Î V

Fixadas as bases [Maple Math] de V e [Maple Math] de W , a representação matricial da transformação soma

[Maple Math] [Maple Math]

T + S é dada pela soma de A = T ] e B = S ] .

[Maple Math] [Maple Math]

Exemplo :

T : M ( 2 , 3 ) ->

[ [Maple Math] ] -> ( [Maple Math] , [Maple Math] )

S : M ( 2 , 3 ) ->

[ [Maple Math] ] -> ( [Maple Math] , [Maple Math] )

Fixadas as bases canônicas [Maple Math] de M ( 2 , 3 ) e [Maple Math] de R² :

[Maple Math] = { [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] }

[Maple Math] = { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } , temos as representações matriciais ( cheque o resultado como

exercício ! ) :

> A:=matrix([[0,0,1,0,1,0],[1,0,0,0,0,0]]);

[Maple Math]

> B:=matrix([[1,2,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,-3]]);

[Maple Math]

>

Então, a matriz soma A + B é a representação matricial relativa às bases [Maple Math] e [Maple Math] da

transformação linear ( T + S ) : M ( 2 , 3 ) -> R² .

> evalm(A+B);

[Maple Math]

>

Para verificar o resultado, consideremos por exemplo o vetor v = [Maple Math] .

O vetor coluna de coordenadas de v na base [Maple Math] é :

> v:=vector([1,2,3,-5,7,8]);

[Maple Math]

>

Temos então que :

> Tv:=evalm(A &* v);

[Maple Math]

> Sv:=evalm(B&*v);

[Maple Math]

> Soma:=evalm(Tv + Sv);

[Maple Math]

>

Por outro lado :

> T_mais_S_de_v:=evalm((A+B) &* v);

[Maple Math]

>

O dado acima confirma o resultado obtido anteriormente.

2) Multiplicação de uma Transformação Linear por um Escalar

Dada uma transformação linear T : V -> W e um escalar k , podemos efetuar a multiplica-

ção de T por k, produzindo uma Transformação Linear k T : V -> W , definida por :

( k T ) . ( v ) = k . ( T ( v ) ) para cada v Î V .

Fixadas as bases [Maple Math] de V e [Maple Math] de W , a representação matricial da transformação k . T

é dada pelo produto de k . A , onde :

[Maple Math]

A = T ]

[Maple Math]

Exemplo:

T : [Maple Math] -> [Maple Math] definida por :

T ( [Maple Math] ) = ( [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] )

Sejam [Maple Math] = { 1 , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] } e [Maple Math] = { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) }

bases de [Maple Math] e [Maple Math] , respectivamente.

[Maple Math]

A representação matricial A = T ] é dada por ( Confira ! ) :

[Maple Math]

> A:=matrix([[-1,0,0,3],[0,1,1,0],[0,1,0,-1]]);

[Maple Math]

>

Seja k = -7 um escalar . A matriz k . A é dada por :

> k:=-7;

[Maple Math]

> kA:=evalm(k*A);

[Maple Math]

>

Para ilustrar o resultado, seja v = [Maple Math] um vetor de [Maple Math] .

A representação das coordenadas de v na base [Maple Math] é :

> v:=vector([0,0,sqrt(3),-2]);

[Maple Math]

> Tv:=evalm(A&*v);

[Maple Math]

>

Se k = [Maple Math] é o escalar dado, então :

> k:=sqrt(3)/3;

[Maple Math]

> Multiplicacao:=evalm(k*Tv);

[Maple Math]

Por outro lado:

> k_vezes_T_de_v:=evalm((k*A)&*v);

[Maple Math]

>

O dado acima confirma o resultado obtido anteriormente.

Observação : As duas operações anteriores permitem considerar o conjunto de todas as trans-

formações lineares entre dois espaços vetoriais V e W como um espaço vetorial L ( V , W ).

Isto quer dizer que neste novo espaço vetorial , vetores são transformações lineares . Já vimos

que se Dim V = n e Dim W = m , fixadas duas bases, [Maple Math] de V e [Maple Math] de W, cada transforma-

ção linear T : V -> W possui uma representação matricial [Maple Math] , que é um vetor do espaço

vetorial das matrizes M ( m , n ) . Reciprocamente , cada matriz A Î M ( m , n ) determina

[Maple Math]

uma transformação linear T : V -> W , tal que T ] = A .

[Maple Math]

Então, existe uma correspondência bijetora entre dois espaços vetoriais :

L ( V , W ) e M ( m , n ) , que é um isomorfismo.

Por isso, a dimensão deste novo espaço vetorial L ( V , W ) é ( m * n ) .

Por causa destas considerações , quando trabalhamos com espaços vetoriais de

dimensões finitas, as transformações lineares são na prática trabalhadas por meio de matrizes

de representação .

3) Composição de Transformações Lineares

Para estudar esta operação, temos a motivação geométrica apresentada no estudo de movi-

mentos no plano e no espaço.

Generalizando para espaços vetoriais quaisquer , estaremos considerando a seguinte situa-

ção:

Sejam V , W e Z três espaços vetoriais. Se T : V -> W e S : W -> Z são duas trans-

formações lineares, então a composição ( S o T ) : V -> Z é uma Transformação Linear de-

finida por :

( S o T ) ( v ) = S ( T ( v ) ) para cada v Î V .

Temos então uma operação entre os espaços :

L ( V , W ) x L ( W , Z ) -> L ( V , Z )

( T , S ) -> S o T

É fácil observar que quando V = W = Z = R² estamos no caso de movimentos no plano

e analogamente, quando V = W = Z = [Maple Math] estamos no caso de movimentos no espaço.

Vimos que , quando os espaços vetoriais envolvidos têm dimensão finita , o espaço das

transformações lineares é isomorfo a um espaço das matrizes.

Neste contexto, temos a seguinte situação :

Suponhamos Dim V = n , Dim W = r e Dim Z = m .

Sejam [Maple Math] = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } uma base de V ,

[Maple Math] = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } uma base de W e

[Maple Math] = { [Maple Math] , ... , [Maple Math] } uma base de Z , fixadas arbitrariamente.

[Maple Math] [Maple Math]

Sejam : [Maple Math] = T ] e [Maple Math] = S ] as representações

[Maple Math] [Maple Math]

matriciais.

Então, a representação matricial de ( S o T ) Î L ( V , Z ) relativa às bases

[Maple Math] de V e [Maple Math] de Z é dada pelo produto das matrizes BA .

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

S o T ] = S ] . T ] = [Maple Math]

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

De fato , a operação de produto de matrizes é de tal forma que, na correspondência entre

os espaços das matrizes e das transformações lineares,representa exatamente a operação de com-

posição de transformações lineares correspondentes.

Exemplo:

##########Continuar aqui com mais exemplos######

>> Help sobre os Comandos ...

E X E R C Í C I O S

1º Grupo) Exercicíos sobre transformações lineares

1) Sejam R, S e T três transformações lineares de R³ em R³.

R = [Maple Math]

S = [Maple Math]

Ache T, tal que : R = S o T .

2) Sejam a = { ( 1 , -1 ) , ( 0 , 2 ) } e b = { ( 1 , 0 , -1 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 0 ) } bases de

R² e R³, respectivamente .

a

[ I ] = [Maple Math]

b

a) Ache T. a

b) Se S( x , y ) = ( 2y , x - y , x ) , encontre [ S ]

b

a

c) Ache uma base l de R³ tal que [ T ] = [Maple Math]

l

3)

Se [ R ] = [Maple Math] e [ S ] = [Maple Math] , ache R o S .

4) Se R( x , y ) = ( 2x , x - y , y ) e S( x , y ) = ( y - z , z - x ) :

a) Ache [ R o S ].

b) Ache [ S o R ].

5) Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 x 2 com base b :

b = { [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] }

Se T : V -> R² é dada por T ( [Maple Math] ) = ( a + d , b + c ) :

b

a) Ache [ T ] onde a é a base canônica de R².

a

a

Se S : R² -> V e [ S ] = [Maple Math]

b

b) Ache S e, se for possível, ( a , b ) tal que S ( a , b ) = [Maple Math]

6) Seja T : R² -> R² tal que [ T ] = [Maple Math] . Ache os vetores u e v , tal que :

a) T ( u ) = u

b) T ( v ) = -v

7) Considere a transformação linear T : R³ -> R³ dada por T ( x , y , z ) = ( z , x - y , -z ) .

a) Determine uma base do núcleo de T.

b) Dê a dimensão da imagem de T.

c) T é sobrejetora ? Justifique.

d) Faça um esboço de ker T e Im T .

8) Ache as bases para os núcleos e as imagens dos seguintes exercícios , usando os comandos

do Maple :

a) T : R³ -> R² sobrejetora

b) S : R³ -> R² com ker S = { ( 0 , 0 , 0 ) }

c) L : R³ -> R² com Im L = { ( 0 , 0 ) }

d) M : R² -> R² com ker M= { ( x , y ) } Î R² ; x = y }

e) H : R³ -> R³ com ker H = { ( x , y , z ) Î R³ ; z = -x }

9) Sejam a = { ( 0 , 2 ) , ( 2 , -1 ) } e b = { ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , -1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) } bases de

R² e R³ .

a

[ S ] = [Maple Math]

b

Dê a expressão para S ( x , y ) .

10) Seja :

A = [Maple Math] B = [Maple Math]

Encontre ker T A , Im T A , ker T B , Im T B , ker ( T B o T A ) e Im ( T B o T A ) .

Determine bases para estes seis subespaços.

11) Consideremos a aplicação matricial B : R³ -> R² onde B = [Maple Math] .

Ache a dimensão e uma base :

a) do núcleo de B .

b) da imagem de B.

12) Ache uma aplicação linear F : R³ -> [Maple Math] cuja imagem é gerada por ( 1 , 2 , 0 , - 4 ) e

( 2 , 0 , -1 , -3 ).

13) Sejam V o espaço vetorial de matrizes 2 x 2 sobre R e M = [Maple Math] . Seja F : V -> V a

aplicação linear definida por :

F(A) = AM - MA

Ache uma base e a dimensão do núcleo W de F.

14) Seja H : R³ -> R³ definidda por H( x , y , z ) = ( x + y -2z , x + 2y + z , 2x + 2y - 3z ).

a) Mostre que H é não-singular.

b) Estabeleça uma fórmula para [Maple Math] .

15) Sejam F : R³ -> R² e G : R² -> R² definidas por F ( x , y , z ) = ( 2x , y + z ) e

G( x , y ) = ( y , x ) , respectivamente .

Estabeleça fórmulas que definam as aplicações :

a) G o F

b) F o G

16) Sejam S e T operadores lineares em R² definidos por S ( x , y ) = ( y , x ) e

T ( x , y ) = ( 0 , x ) . Estabeleça fórmulas que definam os operadores :

a) S + T

b) 2S - 3T

c) ST

d) TS

e) S²

f) T²

17) Seja o operador linear T em R³ definido por T ( x , y , z ) = (2x , 4x - y , 2x + 3y - z ) .

a) Mostre que T é inversível

b) Estabeleça fórmulas para :

b.1) [Maple Math]

b.2) T²

b.3) [Maple Math]

2º Grupo) Exercicíos sobre matriz de representação

1) Seja V um espaço vetorial real de 4 dimensões e T : V -> V operador linear.

Se B = { [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] } é uma base de V e :

T( [Maple Math] ) = [Maple Math]

T( [Maple Math] ) = [Maple Math]

T( [Maple Math] ) = [Maple Math]

T( [Maple Math] ) = [Maple Math]

a) Ache o posto e a nulidade de T .

b) Ache uma base para Im T e ker T .

c) Determine se T é injetora .

2) Seja M ( 2 , 2 ) o espaço das matrizes 2 x 2 e T o operador linear em M dado por :

T ( A ) = [Maple Math] . A + A . [Maple Math]

a) Encontre uma representação matricial para o operador T .

b) Ache o posto e a nulidade de T .

3) Sejam [Maple Math] = { [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] } e [Maple Math] = { [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] } duas bases de um espaço vetorial .

[Maple Math]

Seja I ] = [Maple Math]

[Maple Math]

a) Escreva [Maple Math] , [Maple Math] e [Maple Math] como combinação linear de [Maple Math] , [Maple Math] e [Maple Math] .

b) Escreva [Maple Math] , [Maple Math] e [Maple Math] como combinação linear de [Maple Math] , [Maple Math] e [Maple Math] .

4) Seja [Maple Math] = { [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] } uma base de V e T um operador linear de V, tal que :

[Maple Math]

I ] = [Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

Encontre T ] onde [Maple Math] = { [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] } é uma base de V dada por :

[Maple Math]

[Maple Math] = [Maple Math] , [Maple Math] = [Maple Math] e [Maple Math] = [Maple Math]

5) Seja T : P 2 -> R³ uma aplicação definida por T ( p( t ) ) = ( p( -1 ) , p( 0 ) , p( 1 ) ) :

a) Ache T ( t² + 5t + 6 ).

b) Mostre que T é uma aplicação linear, encontrando uma representação matricial.

c) Mostre que T é injetora.

d) Ache T( -1 ) ( 0 , 3 , 0 )

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