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Exercícios de Derivadas - 1

  1. Achar as derivadas parciais das funções abaixo e de outras que puder inventar. Verifique onde o vetor gradiente se anula.
    
     
     a) $z = x^2 {\rm sen}\,^2y$         b) $ z = x^{y^2}$                 c) $ u = \exp(x^2+y^2+z^2)$         d) $u = \sqrt{\displaystyle {x^2+y^2+z^2}}$
    
    e) $ z = \,\mbox{arctg}\,(xy)$ f) $ z = \,\mbox{arctg}\,(\displaystyle {y\over x})$ g) $ u = e^{ x\over y} + e^{ z\over y}$ g) $ z = \ln\displaystyle { \sqrt{x^2+y^2}-x\over \sqrt{x^2+y^2}+x}$
    h) $ z = \,\mbox{arcsen}\,(x+y)$ i) $ z = \,\mbox{arctg}\,( \sqrt{\displaystyle {x^2-y^2\over x^2+y^2}}$
  2. Usando a definição, mostre que $f(x,y) = x^{1\over 5} y^{1\over 3}$ tem derivadas parciais na origem, valendo $\displaystyle {\partial f\over \partial x}(0,0) = 0$ e $\displaystyle {\partial f\over \partial y}(0,0)= 0$.
  3. Usando a definição, determinar, se existirem, $\displaystyle {\partial f\over \partial x}(0,2)$ e $\displaystyle {\partial f\over \partial y}(0,2)$, onde

    \begin{displaymath}f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll}
x^2y {\rm sen}\,{\displa...
...x{se $x \ne 0$}\\
0, & \mbox{se $x=0$}
\end{array} \right. \end{displaymath}

  4. Mostre que a função $ f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll}
{\displaystyle {y^3\over x^2+y^2}}, & \mbox{se $(x,y) \ne (0,0)$}\\
0, & \mbox{se $(x,y)=(0,0)$}
\end{array} \right. $ não é derivável em (0,0) apesar das derivadas parciais existirem, utilizando a definição. Verifique também que $f$ não satisfaz a condição suficiente de diferenciabilidade em (0,0).
  5. Use diferenciais para aproximar o valor das seguintes funções nos pontos indicados:
  6. Calcule as derivadas parciais solicitadas, por regra da cadeia:
  7. Calcule a equação geral do plano tangente ao gráfico da função, nos pontos indicados (se existirem). Depois procure um ponto onde o plano tangente é horizontal. Qual a equação?
  8. Calcule a equação geral da reta tangente à curva de nível de $z=f(x,y)$ que passa pelo ponto dado (se existir). Em cada ponto, explicite o nível (qual $k$?)
  9. Calcule a equação geral do plano tangente à superfície de nível de $w = f(x,y,z)$ que passa pelo ponto dado (se existir). Em cada ponto, explicite o nível. Em que ponto o plano tangente é horizontal?
  10. A temperatura numa chapa é dada por $T(x,y) = 40 -2x^2 - 3y^2$, medida em graus C e a distância sendo medida em m. Se uma formiga se encontra no ponto (2,3), pergunta-se:
  11. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica. Num dado instante, o raio da base é de 12cm e a altura é 8cm. Usando diferencial, obtenha uma aproximação da variação do volume, se o raio da base varia para 12.5 cm e a altura para 7.8 cm. Comparar o resultado obtido com a variação exata do volume.
  12. Um terreno tem forma retangular. Estima-se que seus lados medem 1200m e 1800m, com erro máximo de 10m e 15m, respectivamente. Determinar o possível erro no cálculo da área do terreno.
  13. O programa Maple V tem dificuldades de desenhar o cone com vértice, através de sua equação $x^2+y^2-y^2=0$ e o comando implicitplot3d. Por quê? Tente explicar outras situações onde a figura desenhada pelo Maple não é confiável, através dos termos domínio, limite, continuidade, derivadas e gradiente.
  14. Desenhe um porco-espinho arrepiado no Maple ou equivalente, utilizando vetores gradiente.
  15. Calcule a derivada direcional de $f$ no ponto $p$ na direção e sentido de $\vec u$, onde:
  16. Suponha que $f(x,y)$ tenha o gradiente nulo num ponto $p=(x_0, y_0)$ onde exista o plano tangente ao gráfico. (a) Isto é um absudo: se o gradiente é nulo, não tem plano tangente. (b) O plano tangente é horizontal. (c) $p$ deve ser um ponto de máximo ou mínimo de $f$.

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Yolanda Kioko Saito Furuya 2003-10-21