Exercícios de Derivadas - 1

1. Achar as derivadas parciais das funções abaixo e de outras que puder inventar. Verifique onde o vetor gradiente se anula.

   
    
    a) $z = x^2 {\rm sen}\,^2y$         b) $z = x^{y^2}$                 c) $u = \exp(x^2+y^2+z^2)$         d) $u = \sqrt{\displaystyle {x^2+y^2+z^2}}$
   
   
   e) $z = \,\mbox{arctg}\,(xy)$ f) $z = \,\mbox{arctg}\,(\displaystyle {y\over x})$ g) $u = e^{ x\over y} + e^{ z\over y}$ g) $z = \ln\displaystyle { \sqrt{x^2+y^2}-x\over \sqrt{x^2+y^2}+x}$
   
   
   h) $z = \,\mbox{arcsen}\,(x+y)$ i) $z = \,\mbox{arctg}\,( \sqrt{\displaystyle {x^2-y^2\over x^2+y^2}}$
   
   
   
   

2. Usando a definição, mostre que $f(x,y) = x^{1\over 5} y^{1\over 3}$ tem derivadas parciais na origem, valendo $${\partial f\over \partial x}(0,0) = 0$$ e $${\partial f\over \partial y}(0,0)= 0$$.
3. Usando a definição, determinar, se existirem, $${\partial f\over \partial x}(0,2)$$ e $${\partial f\over \partial y}(0,2)$$, onde
   
   $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2y {\rm sen}\,{\displa... ...x{se $x \ne 0$}\\ 0, & \mbox{se $x=0$} \end{array} \right.$$
   
   

4. Mostre que a função $f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} {\displaystyle {y^3\over x^2+y^2}}, & \mbox{se $(x,y) \ne (0,0)$}\\ 0, & \mbox{se $(x,y)=(0,0)$} \end{array} \right.$ não é derivável em (0,0) apesar das derivadas parciais existirem, utilizando a definição. Verifique também que $f$ não satisfaz a condição suficiente de diferenciabilidade em (0,0).
5. Use diferenciais para aproximar o valor das seguintes funções nos pontos indicados:
   • $f(x,y) = x \sqrt{1+y^3}$, $P_0 = (1,1)$.
   • $f(x,y,z) = x e^{yz}$, $P_0 = (3.05, 0.2+\ln 2, -1.1)$.
   • $ln(1.1+0.2 e^{0.2}$
   • O comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3.1m e 3.8m, repectivamente.
6. Calcule as derivadas parciais solicitadas, por regra da cadeia:
   • $u_s$ e $u_t$, onde $u(x,y) = x^2 e^{xy} + y^2 {\rm sen}\,(xy)$, $x = s^2t$, $y = s e^t$.
   • $\phi_u$ e $\phi_v$, onde $\phi(x,y,z) = xz + xy + yz$, $x = uv$, $y = v^2$ e $z = \ln (uv)$.
   • $f_x$ e $f_y$, onde $f(u,v,w) = u^2+vw$, $u=x+y$, $v = x^2$ e $w = xy$, no ponto $(x,y) = (1,0)$
7. Calcule a equação geral do plano tangente ao gráfico da função, nos pontos indicados (se existirem). Depois procure um ponto onde o plano tangente é horizontal. Qual a equação?
   • $f(x,y) = \sqrt{ 1 - x^2 - y^2}$, $P_1 = (0,0,1)$ e $P_2 = (1/2,1/2,\sqrt 2/2)$.
   • $f(x,y) = xy$, $P_1 = (0,0,0)$ e $P_2 = (1,1,1)$.
   • $f(x,y) = \sqrt{ (x-1)^2 + (y-1)^2}$, $P_1 = (1,1,0)$ e $P_2 = (1,2,1)$.
   • $f(x,y) = 1/\sqrt{ x^2 + y^2}$, $P_1 = (0,1,1)$ e $P_2 = (1,1,\sqrt 2/2)$.
   • $f(x,y) = x e^{x+y}$, $P_1 = (1,0,f(1,0))$ e $P_2 = (1,1,f(1,1))$.
8. Calcule a equação geral da reta tangente à curva de nível de $z=f(x,y)$ que passa pelo ponto dado (se existir). Em cada ponto, explicite o nível (qual $k$?)
   • $f(x,y) = x^2-2y^2$, $P_1 = (0,0)$ e $P_2 = (10,20)$
   • $f(x,y) = x^2 + y^2$, $P_1 = (1,0)$ e $P_2 = (a,b)$.
   • Invente outras funções e pontos.
9. Calcule a equação geral do plano tangente à superfície de nível de $w = f(x,y,z)$ que passa pelo ponto dado (se existir). Em cada ponto, explicite o nível. Em que ponto o plano tangente é horizontal?
   • $f(x,y,z) = x^2-2y^2+z^2$, $P_1 = (0,0,0)$ e $P_2 = (10,20,2)$
   • $f(x,y,z) = x^2 + y^2-z$, $P_1 = (1,0,0)$ e $P_2 = (a,b,c)$.
   • Invente outras funções e pontos.
10. A temperatura numa chapa é dada por $T(x,y) = 40 -2x^2 - 3y^2$, medida em graus C e a distância sendo medida em m. Se uma formiga se encontra no ponto (2,3), pergunta-se:
    • em que direção deve seguir a formiga para se aquecer mais rapidamente? Qual a taxa de variação da temperatura, neste caso?
    • em que direção deve seguir a formiga para permanecer à mesma temperatura? qual a taxa?
    • E para esfriar mais rapidamente? qual a taxa?
    • Se fosse você, em que direção seguiria? e se fosse um pinguim?
11. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica. Num dado instante, o raio da base é de 12cm e a altura é 8cm. Usando diferencial, obtenha uma aproximação da variação do volume, se o raio da base varia para 12.5 cm e a altura para 7.8 cm. Comparar o resultado obtido com a variação exata do volume.
12. Um terreno tem forma retangular. Estima-se que seus lados medem 1200m e 1800m, com erro máximo de 10m e 15m, respectivamente. Determinar o possível erro no cálculo da área do terreno.
13. O programa Maple V tem dificuldades de desenhar o cone com vértice, através de sua equação $x^2+y^2-y^2=0$ e o comando implicitplot3d. Por quê? Tente explicar outras situações onde a figura desenhada pelo Maple não é confiável, através dos termos domínio, limite, continuidade, derivadas e gradiente.
14. Desenhe um porco-espinho arrepiado no Maple ou equivalente, utilizando vetores gradiente.
15. Calcule a derivada direcional de $f$ no ponto $p$ na direção e sentido de $\vec u$, onde:
    • $f(x,y) = x^3 -xy$, $p=(1,2)$, $\vec u = \mbox{versor de (3,4)}$.
    • $f(x,y) = x^2\cos(x-y)$, $p=(0,\pi)$, $\vec u = (\cos\theta, {\rm sen}\,\theta)$.
16. Suponha que $f(x,y)$ tenha o gradiente nulo num ponto $p=(x_0, y_0)$ onde exista o plano tangente ao gráfico. (a) Isto é um absudo: se o gradiente é nulo, não tem plano tangente. (b) O plano tangente é horizontal. (c) $p$ deve ser um ponto de máximo ou mínimo de $f$.