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Pontos, retas e planos

1. Em situação ideal, $\alpha$ e $\beta$ são paralelos entre si, $r$ é paralelo a $\beta$ e $s$ paralelo a $\alpha$ (ou se encontram bem longe da pista e dos trilhos), e com certeza, as retas $r$ e $s$ são reversas entre si.


2. Quatro pontos não coplanares determinam 4 planos: cada plano correspondente a uma face do tetraedro.


3. Os subconjuntos de vértices do paralelepípedo $ABCDEFGH$ determinam 20 planos distintos: 6 planos de faces e 6 planos diagonais contendo 4 vértices cada, e 8 planos por 3 vértices cada, cada um desses planos seccionando o paralelepípedo pelos 3 vértices vizinhos a um dos vértices.


4. O plano $ABG$ determina no paralelepípedo $ABCDEFGH$ um paralelogramo. Já que contém a aresta $AB$ conterá a aresta $GH$ que é paralela a $AB$ e passa por $G$. Logo a seção é o paralelogramo $ABGH$.


5. O plano $\alpha$ de $r$ e $P$ e o plano $\beta$ de $s$ e $P$ têm em comum o ponto $O = r \cap s$ e $P$, logo a intersecção é a reta por $O$ e $P$.


6. O ponto $A$ está no plano $\beta$ definido por $s$ e $A$, e já que $A \in r \subset \alpha$, temos que $A \in \alpha \cap \beta$. Analogamente, $B$ está em $\alpha \cap \beta$, e portanto, $\alpha \cap \beta$ é a reta por $A$ e $B$. Os planos não são coincidentes pois as retas $r$ e $s$ são reversas.


7. As retas $AC$ e $BD$ não podem ser coplanares, pois se fossem, o plano contendo os 4 planos conteria as retas reversas $r$ e $s$. Logo, $r$ e $s$ são reversas.


8. Se $r$ e $s$ são reversas e $P$ um ponto,


9. Se $P \in r$, basta passar por $P$ qualquer reta paralela a uma reta de $\alpha$.

Se $P \notin r$, o plano $\beta$ contendo $r$ e $P$ é secante a $\alpha$ numa reta $t$. A reta passando por $P$ e paralela a $t$ é secante a $r$ e paralela a $\alpha$.


10. Não. Qualquer dois planos secantes são paralelos a uma reta paralela à interseção.


11. No plano do $\bigtriangleup ABC$ o segmento $MN$ que liga os pontos médios de $AB$ e $BC$ é paralelo ao lado $AC$ e de comprimento igual à metade. Analogamente, no plano do $\bigtriangleup ACD$ o segmento $PQ$ que liga os pontos médios de $CD$ e $DA$ é paralelo ao lado $AC$, de comprimento igual à metade. Logo, se for verdade que duas retas paralelas a uma reta são paralelas entre si, teríamos, que $MNPQ$ formam um paralelogramo, já que são paralelos e de mesmo comprimento.

Segue daí que os tres segmentos que unem os pontos médios das arestas opostas de um tetraedro se encontram num mesmo ponto, esses segmentos são diagonais dos paralelogramos encontrados como anteriormente, e o ponto de encontro é o ponto médio das diagonais.


12. Não. Três planos têm exatamente um ponto em comum se dois são secantes e o terceiro é secante à interseção. Ora, se a reta for paralela aos dois primeiros, será paralela à interseção, e portanto, secante ao terceiro, não paralelo.


13. Certamente que essas posições são possíveis. Vejamos agora que qualquer 3 planos se encaixam em um dos 4 casos descritos.


14. Exercício especial Enunciado: Seja $ABCD$ um paralelogramo. Pelos vértices $A$, $B$, $C$ e $D$ são traçadas retas não contidas no plano $ABCD$ e paralelas entre si. Um plano $\alpha$ corta essas retas em pontos $A'$, $B'$, $C'$ e $D'$, situados no mesmo semi-espaço relativo ao plano de $ABCD$, de modo que $AA'=a$, $BB'=b$, $CC'=c$ e $DD'=d$. Mostre que $a+c=b+d$.


15. Seja $X$ um ponto da areta $AB$ do tetraedro $ABCD$. Seja $\alpha$ o plano por $X$, e paralelo às arestas $AC$ e $BD$ do tetraedro $ABCD$.

$\alpha$ corta o triângulo $ABC$ segundo segmento $XY$ paralelo a $AC$, $Y \in BC$.

Passando por $Y$ uma pararela a $BD$, temos outro segmento $YZ$ com $Z \in \alpha \cap CD$.

Por $X$, temos $W \in AD$, com $XW$ paralelo a $BD$.

Logo os segmentos $XW$ e $YZ$ são paralelos contidos em $\alpha$ e ${\vert\vert XW\vert\vert\over \vert\vert BD\vert\vert }={\vert\vert AX\vert\ver...
...vert\vert YB\vert\vert}={\vert\vert YZ\vert\vert\over \vert\vert BD\vert\vert }$, donde $\vert\vert XW\vert\vert=\vert\vert YZ\vert\vert$.

Logo $XYZW$ é paralelogramo.


16. Se o plano contém a aresta $AB$, ou as secçoes são paralelogramos, ou somente o segmento $AB$.


17. $ABCDEFGH$ paralelepípedo.


18. Suponha $r\parallel s$ e $s \parallel t$. Se as retas forem coplanares, vale.

Considere agora $\alpha$ o plano de $r$ e $s$, $\beta$ o plano de $s$ e $t$. Seja $\gamma$ um plano por $r$ e passando por um ponto $T$ de $t$. Seja $l = \beta \cap \gamma$. Só pode ocorrer $l \parallel r \parallel s$ (caso d do exerc. 13). Mas então $l = t$ já que no plano $\beta$ so há uma reta por $T$ paralela a $s$ e portanto, $t\parallel r$.


19. A construção da página 171 mostra a existência do plano paralelo a um plano dado, passando por um ponto também dado.

Suponha agora que hajam 2 planos distintos por $P$, $\alpha$ e $\beta$, paralelos ao plano $\pi$. Considere $\alpha \cap \beta = r \ni P$.

Considere um novo plano $\gamma$, que passa por $P$ e seja transversal a $r$. Então $\gamma$ é transversal a aos planos $\alpha$, $\beta$, e $\pi$, cortando em retas $a$, $b$ e $l$, respectivamente. Pela construção, teremos $P = a \cap b$ e $a \parallel l$, $b \parallel l$, em $\gamma$, o que é impossível, pela unicidade da paralela.


20. Considere um triângulo de vértices $P$, $R\in r$ e $S \in s$. As retas paralelas $r$ e $r'$ definem um plano passando por $PQ$, e nesse plano, a paralela a $PQ$ por $r$ define $R'\in r'$ de forma que $RR'\parallel PQ$. Analogamente, temos $S'\in s'$ de forma que $SS'\parallel PQ$. Pelo exercício 18, $RR'\parallel SS'$. Então temos os triângulos $\bigtriangleup PRS$ e $\bigtriangleup P'R'S'$ congruentes, o que dá que $\angle (r,s)=\angle(r',s')$.


21. Se $\alpha$ e $\beta$ forem paralelas, o lugar geométrico procurado é o plano paralelo aos dois, passando pelo ponto médio de um dos segmentos com extremidades em cada plano.

Caso os planos $\alpha$ e $\beta$ sejam secantes, qualquer ponto do espaço é ponto médio de algum segmento com extremidades nos planos dados.


22. Considere o plano $\beta$ de $r$ e $P$. Neste plano, considere $t=\alpha\cap\beta$, e $t'\parallel t$ tal que $P$ fique na metade da distância entre $t$ e $t'$. $t'$ intercepta $r$ num ponto $R$ tal que a reta $RP$ intercepta $\alpha$ em $A$, com $P$ como ponto médio de $AR$.


23. O ponto $S$ deve ser o ponto de intersecção da reta $s$ com o plano paralelo a $r$ e $t$, que dista igualmente das retas $r$ e $t$ (Construa planos paralelos como no exercício 8.c e o lugar geométrico do exercício 21). Para encontrar os pontos $R$ e $T$, basta resolver o exercício 8.d.


24. Utilize homotetia.


25. Basta considerar prismas com arestas laterais iguais e inclinações distintas. No caso dos tetraedros, os lados sendo triangulares, os comprimentos determinam os ângulos (congruência LLL).


26. Se $d$ é a distância da base da pirâmide ao plano de secção, devemos ter, ${(h-d)^2\over h^2} = \frac{1}2$. Resolva.


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Yolanda Kioko Saito Furuya 2007-04-27