Frações unitárias e as equações diofantinas do escriba do faraó.

Palestrante: João Carlos Vieira Sampaio
Universidade Federal de São Carlos

Data: 22/09
Horário: das 19:00 às 19:45 horas
Local: Auditório do DM

Resumo: Nesta palestra faremos uma apresentação de um modo peculiar de representação de frações, utilizado no histórico Papiro Rhind, escrito por volta de 1650 a.C., um dos mais antigos e importantes documentos da matemática egípcia antiga. Em uma longa seção do Papiro Rhind, ou Papiro Ahmes, o escriba Ahmes dedica-se a calcular 2 dividido por n, para n ímpar, de 5 a 101, dando a solução na forma de uma soma de duas ou mais frações unitárias distintas. As frações unitárias, isto é, as frações que representamos na forma 1/n, com n > 1 inteiro, e a fração 2/3, foram as únicas frações usadas pelo escriba ao longo do Papiro Rhind. Por exemplo, em um problema de dividir 6 pães para 10 homens, no papiro Rhind, o escriba Ahmes dá como resposta não a fração 3/5 de um pão para cada homem, mas a forma equivalente 1/2 + 1/10. Trataremos de tentar elucidar a origem do uso de tais frações pelos egípcios. É sempre possível decompor qualquer fração própria a/b, com a e b inteiros positivos, como soma de frações unitárias distintas, através de um procedimento (algoritmo) atribuído a Leonardo Fibonacci (c. 1175-c. 1250), cuja validade foi demonstrada por James J. Sylvester (1814-1897).

Nesta palestra exploraremos o problema de obter todas as decomposições de uma fração 2/n, n ≥ 3 e ímpar, como soma de duas frações unitárias distintas. A decomposição de uma fração comum 2/n, n > 2 e ímpar, como soma de duas frações unitárias distintas, pode não ser única. Por exemplo, 2/9 = 1/6 + 1/18 = 1/5 + 1/45. Também faremos considerações sobre a representação de frações próprias como somas de três ou mais frações unitárias distintas.