Otimização espectral para o operador laplaciano Grushin em variedades riemannianas.

Ministrante: Marcus Antônio Mendonça Marrocos
Universidade Federal do Amazonas

Data: 24/09 - Local: Lab 01 DM
Horário: das 09:00 às 12:00 horas

Resumo: Neste minicurso discutiremos um problema de otimização espectral envolvendo o operador de Laplaciano de Grushin em domínios cartesianos de variedades do tipo M=R^m X N, onde N é uma variedade Riemanniana compacta. O objetivo central é compreender como a forma do domínio influencia o primeiro autovalor do operador, sob a restrição de volume fixo.

Esse tema se conecta a resultados clássicos como a desigualdade de Faber-Krahn, que identifica a bola como o domínio que minimiza o primeiro autovalor do Laplaciano no espaço Euclidiano. Abordaremos como tais ideias se estendem para o contexto de operadores degenerados, como o de Grushin, e para variedades Riemannianas mais gerais.

A técnica principal é a separação de variáveis, que permite reduzir o problema a dois operadores acoplados: o Laplace--Beltrami em N e um operador de Schrödinger em R^m com potencial dependente do espectro em N. A partir dessa decomposição, investigamos quais domínios minimizam o primeiro autovalor e como resultados recentes - como os de Luzzini, Provenzano e Stubbe (2023), e de Lamboley e Sicbaldi (2020) - fornecem respostas parciais e caminhos de pesquisa.

Nosso objetivo é apresentar não apenas as ferramentas técnicas, mas também a intuição geométrica por trás do problema, evidenciando o papel das desigualdades isoperimétricas e do perfil de Faber--Krahn em variedades Riemannianas. Esperamos, assim, despertar o interesse para esse ponto de encontro entre análise espectral, geometria e otimização.