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Resumo: Consideremos uma família de equações diferenciais da forma
u' =f(u,λ), (1)
onde u∈Rn e λ∈Rm.
De acordo com [1], um par ordenado (u0,λ0)∈Rn×Rm, onde λ0 é uma parâmetro e u0 é um ponto estacionário é chamado de ponto de Hopf se existe uma curva C em Rn×Rm, chamada de curva associada, que é dada por ε→(C1(ε), C2(ε)) e satisfaz as seguintes propriedades:
• C(0) = (u0,λ0) e F(C1(ε),C2(ε)) ≡ 0.
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A transformação linear dada pela derivada fu(C1(ε),C2(ε)):Rn→Rn tem um par de autovalores complexos e conjugados não nulos α(ε) ± β(ε)i, cada um com multiplicidade algébrica (e geométrica) igual a um. Além disso, α(0) = 0, α′(0) e β(0) ̸= 0.
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Exceto pelos autovalores ±β(0)i, todos os outros autovalores de fu(u0,λ0) tem parte real não nula.
Nesta apresentação, iremos enunciar e demonstrar o Teorema de Bifurcação de Hopf. Este resultado assegura que se a família (1) para n=2 e m=1 tem um ponto de Hopf em (u,λ)=(0,0) ∈ R2×R e o correspondente ponto estacionário na origem é um atrator fraco (respectivamente, um repulsor fraco), então existe uma bifurcação de Hopf supercrítica (respectivamente, subcrítica) neste ponto de Hopf.
[1] CHICONE, Carmen. Ordinary differential equations with applications. New York, NY: Springer New York, 2006.
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