Simetrias na mecânica clássica |
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Apresentadora: Sofia Akemi Furlan Seto |
Data: 24/09 |
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Resumo: As simetrias estão presentes no nosso dia a dia, mesmo que imperceptíveis. Na natureza, encontramos-as em forma de padrões, de modo geral, harmonia. Sabemos que a matemática é composta por padrões, então, a partir desses, podemos encontrar meios de descrever o funcionamento de fenômenos naturais. Utilizamos, principalmente, modelos matemáticos para transformar observações do mundo real em equações, que podem ser analisadas e manipuladas. Nesse pôster, vamos desenvolver noções da mecânica clássica por meio da matemática, assim, pode-se estudar o movimento com uma perspectiva lógica. A partir disso, nosso principal foco de estudo serão as leis de Newton, que descrevem o movimento de corpos no espaço em função da passagem do tempo. Daremos enfoque à segunda lei de Newton, a qual diz que a soma das forças que atuam em um corpo é descrita pela multiplicação entre a massa e a aceleração desse corpo, descrita pela fórmula usual (F=ma), em que F representa a soma das forças, m a massa do corpo e a a aceleração que atua sobre ele. Com base na segunda lei de Newton, são analisadas as soluções de equações diferenciais por meio do estudo de simetrias, isto é, o conjunto de soluções que mantém as propriedades do movimento em questão invariantes. Nesse estudo, entenderemos o movimento de corpos como um fenômeno matemático, aplicando transformações sob o movimento para encontrar uma família de soluções das equações diferenciais associadas a ele. Fisicamente, isso significa que iremos encontrar propriedades fundamentais que mantêm o sistema físico invariante mesmo com a mudança de condições, como, por exemplo, a variação de referencial e a aplicação de transformações. |
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Projetos Pedagógicos dos Cursos - PPC's
Uma demonstração alternativa para o teorema de Peano. |
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Apresentador: Rafael Henrique Bernardelli |
Data: 24/09 |
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Resumo: O objetivo do pôster é apresentar uma prova alternativa para o problema de Peano em equações diferenciais ordinárias. O teorema é válido apenas para equações em dimensão n=1, e sua demonstração envolve o uso de super e subsoluções de uma equação diferencial ordinária. |
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Das leis de Newton às órbitas elípticas de Kepler. |
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Apresentadora: Giovanna Lopes da Silva |
Data: 24/09 |
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Resumo: Este trabalho explora a conexão entre as Leis de Kepler, que descrevem o movimento planetário, e a Lei da Gravitação Universal de Newton, que fornece a base dinâmica para tais movimentos. O objetivo é apresentar uma dedução matemática da Primeira Lei de Kepler a partir dos princípios newtonianos, focando em uma abordagem baseada na geometria analítica e cálculo vetorial. A metodologia parte da Segunda Lei de Newton para uma força central e utiliza a conservação do momento angular específico, princípio fundamental da Segunda Lei de Newton, para obter a equação de movimento. A equação vetorial resultante é então integrada diretamente, aplicando-se condições iniciais no pericentro da órbita (ponto da órbita de um corpo celeste onde ele está à distância mínima do corpo central) para obter a equação da trajetória. O resultado obtido é a expressão da órbita na forma polar dada em [1], que corresponde à equação geral de uma cônica: O resultado obtido ́e a express ̃ao da ́orbita na forma polar dada em (1), que corresponde `a equa ̧c ̃ao geral de uma cônica: r = (r0v0)2/k/(1+ecosθ). (1) em que k = GM (sendo G a constante gravitacional e M a massa do corpo central) e a excentricidade e ́e determinada por (2): e=r0v02/k −1, (2) em que r0 e v0 representam, respectivamente, a posição e a velocidade iniciais, e θ ́e o ângulo polar. |
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O paradoxo de Russell: uma motivação para teoria axiomática dos conjuntos. |
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Apresentador: Guilherme Expedito Teixeira |
Data: 24/09 |
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Resumo: Enquanto Georg Cantor criava a teoria dos conjuntos e Frege criava a lógica de primeira ordem, ambos não previam um paradoxo que criaria uma crise no recém iniciado projeto de fundamentação da matemática. Esse paradoxo foi notado por Bertrand Russell, matemático, lógico e filósofo britânico, que trouxe o trabalho de Frege para o cenário matemático mundial. O paradoxo afetou tanto Cantor, que já sofria de problemas psiquiátricos, quanto Frege. Sobre a reação de Frege, temos essa passagem em Eves: "Este último paradoxo [Paradoxo de Russell] foi comunicado por Russell a Frege logo depois que este havia concluído o último dos dois volumes de seu grande tratado sobre os fundamentos da aritmética. Frege registrou seus agradecimentos ao fim da obra por meio da sentença seguinte, notavelmente comedida mas patética: ’Dificilmente um cientista pode enfrentar uma situação mais desagradável do que a de presenciar o abalo dos fundamentos de uma obra sua, logo depois de concluí-la. Pois uma carta do Sr. Bertrand Russell, exatamente quando este segundo volume estava prestes a ser concluído, colocou-me nessa situação...’ Assim terminava um trabalho de uma dezena ou mais de anos." (Eves, 2011, p. 675) Cantor já enfrentava críticas de matemáticos como Poincaré e Kronecker, com abordagens mais intuitiva e, agora, o projeto de Cantor/Frege enfrentava um problema ainda mais sério: consistência interna. Os matemáticos, então, procuraram extensivamente como resolver o paradoxo de Russell. Vamos explorar como o paradoxo surge e como ele foi solucionado, dando ênfase à abordagem de Zermelo, com o axioma da compreensão restrita |
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Um estudo sobre as equações diferenciais com retardamento e suas aplicações. |
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Apresentadora: Gabriela Alves Squaiella |
Data: 24/09 |
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Resumo: Aste trabalho tem como objetivo apresentar uma introdução às Equações Diferenciais com Retardo (EDRs), ressaltando seus conceitos fundamentais e diferenças em relação às Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). As principais mudanças para este tipo de equação estão na formulação da condição inicial, que deixa de ser um ponto e passa a ser uma função definida em um intervalo. O espaço de fase passa a possuir dimensão infinita, e também a derivada da função incógnita no instante $t$ depende de uma história passada do fenômeno. Essas características tornam as EDRs relevantes para a modelagem de fenômenos em que o estado presente de um sistema depende também de valores passados, como em dinâmica populacional, física e economia. Neste trabalho, será apresentado o modelo de Malthus com retardamento. |
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As Atividades Curriculares de Integração Ensino, Pesquisa e Extensão (ACIEPEs) são atividades curriculares complementares inseridas nos currículos de graduação, com duração semestral de 60 horas, valendo 4 créditos acadêmicos.
Os estudantes dos cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática podem se matricular em qualquer uma constante no catálogo semestral de ACIEPEs, disponível no site da Pró-Reitoria de Extensão - ProEx.
