A construção de medidas a partir de pré-medidas: o teorema da extensão de Carathéodory..

Apresentador: Enzo Bertato Marine
Graduação em Matemática - UFSCar

Data: 24/09
Horário: das 14:00 às 15:30 horas
Local: Auditório do DM

Resumo: Este trabalho apresenta o Teorema da Extensão de Carathéodory, analisando as condições para estender uma pré-medida a uma medida completa em uma Σ-álgebra. O foco consiste no estudo da medida exterior e na caracterização de conjuntos mensuráveis, fundamentais para a construção da Medida de Lebesgue. Discutimos ainda a importância desse resultado para o rigor da análise moderna e suas aplicações em espaços abstratos. A Teoria da Medida surge da necessidade de estender as noções clássicas de comprimento, área e volume para classes de conjuntos mais gerais do que os intervalos ou poliedros euclidianos. Um dos problemas centrais nessa área é a construção de medidas completas e estáveis sob operações de união enumerável, o que leva naturalmente ao estudo das Σ-álgebras. Esta pesquisa de Iniciação Científica dedica-se a investigar esse processo de formalização, focando na transição entre estruturas elementares e estruturas mensuráveis. O Teorema da Extensão de Carathéodory ocupa um papel de destaque neste cenário, pois fornece o aparato técnico necessário para garantir a existência e unicidade de extensões de pré-medidas. Para o desenvolvimento deste projeto, utilizamos como referencial teórico principal a obra de Folland [1], que detalha a construção da medida exterior e a aplicação da condição de mensurabilidade de Carathéodory. Através desses resultados, é possível consolidar os fundamentos para a construção da Medida de Lebesgue em Rⁿ e para o desenvolvimento da Análise Real moderna.