A compactificação por um ponto de espaços de Hausdorff localmente compactos

Apresentadora: Lívia Ribeiro Marques Camilo
Graduação em Matemática da UFSCar

Data: 24/09
Horário: das 14:00 às 15:30 horas
Local: Saguão do DM

Resumo: Frequentemente, ao estudar um espaço topológico não-compacto X, mostra-se útil estudar um espaço topológico compacto que tenha X como um de seus subespaços. Neste estudo, desejo apresentar esta ideia e suas principais características, e em seguida voltar ao exemplo específico dos números Racionais. Assim, embora o artifício da compactificação não necessariamente aprofunde os estudos de dados espaços topológicos, ele permite a análise comparativa de propriedades fundamentais e simplifica imensamente diversas provas. 

A compactificação de um ponto de um espaço topológico  X é um novo espaço compacto denominado X^∗=X ∪{p}, obtido pela adição de um único novo ponto “p” ao espaço original e declarando em X^∗ que os complementos dos subespaços fechados compactos originais são abertos. A compactificação de um ponto também é conhecida como a compactificação de Alexandroff, em homenagem a um artigo de 1924 de Pavel Sergeevich Aleksandrov (então transliterado 'P.S. Aleksandrov').

Pode-se pensar no novo ponto adicionado como o "ponto no infinito" do espaço original. Uma função contínua em X se anula no infinito precisamente se ela se estende a uma função contínua em X^∗ e assume o valor zero no ponto “p”.

Assim, tendo esta discussão em mente, volto-me ao estudo das propriedades que a compactificação mantém (e as que não se mantêm), enquanto explico algumas definições necessárias a este estudo, de forma que estudantes não familiarizados com topologia possam acompanhar.

Por fim, como uma aplicação deste conceito, apresento o exemplo específico dos Racionais com a topologia induzida pela topologia euclidiana dos Reais, mostrando que sua extensão não é um espaço de Hausdorff, que o ponto no infinito é um ponto de dispersão de sua compactificação, e que esta é sequencialmente compacta.