NDE - Licenciaturas

Peculiaridades sobre representação decimal de números racionais

Palestrante: João Carlos Vieira Sampaio
Universidade Federal de São Carlos 

Data: 20/10 
Horário: das 18:50 às 19:30
Link: www.youtube.com/watch?v=jIg6qFyllUo

Resumo: A representação decimal de números reais foi introduzida na Europa a partir do século 15, com a intenção de ser um modelo facilitador de cálculos aritméticos. Desde então surgiu o problema de que nem todos os números racionais fracionários tem representação decimal finita. Num certo sentido, para uma grande maioria de números racionais fracionários temos a presença de "dízimas periódicas" na representação decimal. A respeito disto, algumas questões podem ser intrigantes. Sendo 17 e 37 dois inteiros primos, porque 1/17 tem dízima periódica de 16 dígitos, enquanto 1/37 tem dízima periódica de apenas 3 dígitos? Com elementos da teoria dos números podem ser respondidas algumas questões sobre o tamanho desses padrões periódicos. Dentre outros fatos, podemos estabelecer: Se p e 10 são relativamente primos, p maior que 1, a parte periódica da fração irredutível 1/p terá comprimento n, sendo n o primeiro expoente positivo tal que 10n deixa resto 1 ao ser dividido por p (10n é congruente a 1, módulo p). Tal expoente n é chamado de ordem de 10 módulo p, é um divisor de fi(p), sendo fi a função aritmética de Euler, e pode ser deduzido a priori. Por exemplo, é possível deduzir que a dízima periódica de 1/2017 tem comprimento 2016.

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