Dízimas periódicas e suas propriedades

Ministrante: João Carlos Vieira Sampaio
Universidade Federal de São Carlos

Datas: 07/10 e 08/10
Horário: das 17:15 às 20:15 horas
Local: Auditório DM

Resumo: Ao explorar dízimas periódicas surge a pergunta sobre como determinar o comprimento (número de dígitos) do período da dízima periódica sem que conheçamos quais são os dígitos da dízima. Isto é possível com o uso de congruências módulo m. Por exemplo, de um teorema de Gauss em Disquisitiones Arithmeticae, de 1801, a dízima periódica de fração geratriz 1/31 terá comprimento 15 porque 10^15 ≡ 1 (mod 31), e 15 é o primeiro inteiro positivo s tal que 10^s ≡ 1 (mod 31). Dentre outras propriedades de dízimas periódicas a serem divulgadas nesta palestra, temos o teorema de Etiénne Midy, que em 1835 demonstrou que considerando-se por exemplo 1/7 = 0,142857, temos 142 + 857 = 999, esta soma sendo um número descrito por uma fileira de noves, e que esta propriedade também é válida para todas as frações irredutíveis n/p, em que o denominador p é primo, p ≥ 7, e a dízima periódica correspondente se subdivide em dois blocos de mesmo comprimento. Em 2004 Brian Ginsberg chamou a atenção para o fato de que, considerando-se por exemplo a fração “unitária” 1/7 = 0;142857, temos 14 + 28 + 57 = 99, ainda um resultado descrito poruma fileira de noves, e que esta propriedade é válida para frações 1/p em que o denominador p é primo e o período da dízima pode ser subdividido em três blocos de comprimentos iguais.