Extensão

Espectro do operador de Laplace em grupos de Lie: uma interação entre EDP e álgebra.

Ministrante: Marcus Antônio Mendonça Marrocos
Universidade Federal de São Carlos

Datas: 08/10, 09/10 e 10/10
Horário: das 08:00 às 09:00 horas
Local: Auditório DM

Resumo:

Teoria espectral é um campo multifacetado com aplicações em diversas áreas da Matemática e das Ciências Naturais. Fenômenos físicos como propagação de onda e do calor são modelados pelo operador de Laplace, e o conhecimento de seus autovalores é essencial na compreensão desses modelos. Na Mecânica Quântica, por exemplo, o modelo do atomo de hidrogênio é descrito pela equação de Schrodinger

$\frac{\partial}{\partial t}\psi=i\mathcal{H}\psi,$

onde o Hamiltoniano é dado por $\mathcal{H}=-\Delta-1/|x|$ e $\psi:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{C}$ é a função onda. Os autovalores de $\mathcal{H}$ estão relacionados aos níveis de energia do átomo. Um aspecto interessante deste modelo é que os autovalores de $\mathcal{H}$ coincidirem com os autovalores de $\Delta^{-1}$ em $\mathbb{S}^3$ . Este exemplo destaca a importância de resolver o problema espectral para o operador de Laplace em $\mathbb{S}^3$ .

Neste mini curso, veremos como a estrutura de grupo de Lie de $\mathbb{S}^3$ é crucial para a obtenção dos autovalores do operador de Laplace, revelando uma relação profunda entre operadores diferenciais e grupos e álgebras de Lie. De fato, ao equipar um grupo de Lie compacto com uma métrica Riemanniana biinvariante, o espectro de $\Delta$ depende essencialmente do grupo em questão. Discutiremos também casos particulares do círculo e toro $n-$ dimensional dentre outros, que ilustram essa interação entre a geometria do grupo e o comportamento do espectro do Laplaciano.