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A ESTRUTURA POLIÉDRICA DA BOLA DE FUTEBOL

Yolanda K. S. Furuya





Na copa mundial de 1970 o mundo do futebol começou a utilizar uma bola confeccionada com pentágonos e hexágonos. Esta estrutura poliédrica chama-se icosaedro truncado, e é constituída de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais.

O icosaedro truncado é um dos treze poliedros conhecidos como sólidos de Arquimedes, que podem ser vistos na figura abaixo. Nesta figura aparecem duas cópias de cada sólido, como que se cada figura estivesse pousada em uma mesa com tampo espelhado. O icosaedro truncado é o quarto sólido da segunda fileira.

O icosaedro truncado pode ser obtido a partir do icosaedro. O icosaedro, conhecido como um dos sólidos de Platão, é formado por 20 faces triangulares regulares, com 12 vértices, sendo que em cada vértice incidem 5 arestas.

Para se obter o icosaedro truncado tomamos um icosaedro sólido e "cortamos" suas "pontas". Assim a cada vértice do icosaedro corresponde uma pequena pirâmide regular de base pentagonal que é retirada do icosaedro. Veja a seguir o icosaedro truncado inserido no esqueleto do icosaedro:

No lugar de cada pirâmide retirada fica sua base pentagonal. Como o icosaedro tem 12 vértices, o poliedro resultante tem 12 faces pentagonais. Se as arestas laterais de cada pirâmide retirada tem comprimento igual a $\frac{1}3$ da aresta do icosaedro, resulta que cada face triangular do icosaedro original se transforma em uma face hexagonal regular do icosaedro truncado. Como o icosaedro original tem 20 faces triangulares, o icosaedro truncado fica com 20 faces hexagonais. Observe que nessa estrutura os vértices têm incidência de apenas 3 arestas. Isto influi na confecção da bola de futebol, facilitando a costura dos gomos.

Podemos utilizar um teorema da Geometria Espacial para determinar o número de arestas (lados costurados) e vértices (onde costuras distintas devem ser juntadas) do icosaedro truncado. O Teorema de Euler relaciona o número V de vértices, o número A de arestas e o número F de faces de um poliedro convexo qualquer (como é o caso de nosso icosaedro truncado) através da fórmula

$V - A + F = 2$.
Esta fórmula na verdade nos dá uma informação sobre a estrutura topológica da superfície, sendo que o número 2 que aí aparece é a característica de Euler do poliedro.

Em nossa bola de futebol existem 12 faces pentagonais e 20 hexagonais. Então $F = 12 + 20$. Segue do Teorema de Euler que $V- A + 32 = 2$, ou seja, $ V-A+30=0$.

Observe que cada aresta é aresta de exatamente duas faces. Então, contando-se as arestas de todas as faces e somando, tem-se:

\begin{displaymath}2A = 5F_5 + 6 F_6 = 5 \times 12+ 6\times 20 = 180,\end{displaymath}

onde $F_n$ é o número de faces de $n$ arestas. Temos $A = 90$. Como $ V-A+30=0$, segue que $V = 60$.

Em resumo, o icosaedro truncado tem 32 faces (sendo 12 pentagonais e 20 hexagonais), 90 arestas e 60 vértices.

O fato de que em cada vértice incidem exatamente 3 arestas pode ser deduzido de outro resultado que relaciona arestas com vértices. Contando, para cada vértice, o número de arestas que incidem sobre ele, e somando, tem-se novamente 2 vezes o número de arestas, já que cada aresta tem 2 vértices. Temos assim a fórmula geral

\begin{displaymath}2A = 3 V_3 + 4 V_4 + 5 V_5 + \cdots \end{displaymath}


onde  $V_n$ é o número de vértices em que incidem  $n$ arestas.

No caso da bola, $2A = 180 = 3V_3+4V_4+5V_5+\cdots$ e $V = 60$ só permite a solução $V=V_3=60$.

Uma forma de construir um icosaedro truncado de cartolina consiste em considerar a planificação abaixo:

Outra forma, seria construir a planificação de um icosaedro regular (com aresta de comprimento a), assim como de 12 pirâmides de base pentagonal regular (com arestas laterais e da base de comprimento a/3). Na montagem dobre cada "ponta" do icosaedro para dentro (ou seja, "afunde" a parte que seria truncada), formando uma concavidade para encaixar uma pirâmide deixando a base pentagonal exposta. 


Referência

Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. e Morgado, A. C., 
A Matemática do Ensino Médio. 
Coleção do Professor de Matemática, 
Sociedade Brasileira de Matemática. 
Rio de Janeiro, 1998. Volume 2, pág. 239.



Leitura adicional

Geometria de los Exapenta. 

http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/exapentas.htm




Addendum (05/10/06)

Na Copa Mundial de Futebol de 2006 foram utilizadas bolas com desenho em formato não poliédrico. 





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Esta matéria foi apresentada para publicação 
em 06/06/2002 por Yolanda K. S. Furuya, do DM-UFSCar. 
As figuras foram construídas pela autora usando o aplicativo computacional Maple V. 
A planificação (última figura) foi adaptada de 
Geométrica Home Page. 

Preparado para publicação na Internet pela autora.
Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira

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Publicado em 01/07/2002. Atualizado em 05/10/2006.