A DATA CAPICUA
20:02 20/02/2002
Waldeck Schützer
Nestes dias foi comentado na mídia brasileira (televisão e internet) a peculiaridade da data 20/02/2002, particularmente o horário 20:02 deste dia. Escrito na forma
20:02 20/02/2002
ou na forma20/02/2002 20:02
foi observado que, desprezando-se os sinais : e / e o espaço, esta representação guarda uma simetria, pois os dígitos são os mesmos quando lemos a expressão da esquerda para a direita ou vice-versa. Foi comentado na mídia que tal padrão nunca mais ocorrerá. Foi comentado também que tal fenômeno já teria ocorrido no passado apenas na hora e data10:01 10/01/1001,
mas foi lembrado que o atual calendário não estava vigente nesta época.Analisando esta situação sob o ponto de vista da aritmética e supondo nosso calendário válido desde o início de nossa era, as informações veiculadas na mídia não estão inteiramente corretas. Faltou mencionar as horas e datas
21:12 21/12/2112
11:11 11/11/1111
Se nos permitirmos escrever o ano 110 de nossa era na forma 0110 podemos ter ainda a possibilidade
01:10 01/10/0110
Permitindo-nos mais liberdades podemos considerar
10:00 01/10/0001
10:00 10/01/0001
10:00 11/11/0001
11:00 01/10/0011
11:00 10/01/0011
11:00 11/11/0011
ou até mesmo11:11 11/11/111...1
etc. Entretanto, estas últimas datas talvez estejam fora do espírito da proposta inicial.Considerando apenas as horas e datas da forma
01:10 01/10/0110
10:01 10/01/1001
11:11 11/11/1111
20:02 20/02/2002
21:12 21/12/2112
De fato, as seguintes restrições devem ser impostas aos dígitos
e
:
e
,
pois
e
são dígitos decimais
,
pois o número
deve representar horas
,
pois o número
deve representar mês
Introduzindo estas informações num gráfico cartesiano de
coordenadas
,
estamos interessados nos pares
,
com
e
inteiros, que satisfaçam estas condições. Na figura abaixo são os
pares
com coordenadas inteiras contidos na região hachurada (incluindo a
fronteira de
).
Vemos que as possibilidades são: (0,1), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), resultando
na lista acima.
|
Se fizermos a exigência
devemos eliminar dessa lista o primeiro caso.
Foram também mencionados na mídia os termos palíndromo e capicua para descrever tal fenômeno da aritmética. Um número é chamado palíndromo ou capicua se sua representação pode ser lida indiferentemente da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda. Exemplos de números palíndromos: 707 e 551155.
Deste ponto de vista talvez devêssemos examinar a forma mais geral
Procedemos do seguinte modo:
1. Primeiro observamos que a determinação da hora:minuto é independente da escolha do dia-mês.
2. Podemos escolher qualquer hora:minuto
,
pois
fará sentido como ano, desde que admitamos representações
começando com zero, e incluindo o próprio ano zero. As horas podem ser
00, 01, ..., 23 e os minutos podem ser 00, 01,...,59. Portanto são 24 possibilidades
para horas e 60 possibilidades para minutos. Isto nos dá um total de
possibilidades para anos.
3. Restam determinar as possibilidades para dia/mês. Temos as seguintes restrições:
e
são dígitos decimais
(12 meses no ano)
dependendo do mês e do ano.
,
só pode ser 0 ou 1. Quando
só podemos ter
.
Quando
só podemos ter
.
Restam assim apenas 6 possibilidades para
:
(1,0), (2,0), (3,0), (0,1), (1,1), (2,1) correspondentes aos palíndromos
ab:cd 10/01/dcba
ab:cd 20/02/dcba
ab:cd 30/03/dcba
ab:cd 01/10/dcba
ab:cd 11/11/dcba
ab:cd 21/12/dcba
Isso dá um total de
diferentes palíndromos ocorrendo em uma
certa hora dos 1440 possíveis anos. Evidentemente os palíndromos anteriormente
estudados se encontram incluídos nesta lista. Admitindo-se outros tipos de
simetria muitos mais palíndromos podem ocorrer.
Observamos que deste ponto de vista a próxima data palindrômica é
20:02 30/03/2002.
A par das considerações aritméticas, podem ser feitas considerações linguísticas, geográficas, históricas, proféticas, numerológicas, etc., mas aqui não pretendemos nos estender.
Saudações capicuas.
Rutgers University, 2/22/02.
Waldeck Schützer
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Esta matéria foi apresentada para publicação
em 22/02/2002 por Waldeck Schützer, do DM-UFSCar e Rutgers University.
A figura foi construída pelo autor. Contribuíram José Antonio Salvador,
Jorge Guillermo Hounie, Paulo Antonio Silvani Caetano e Roberto Ribeiro Paterlini, do DM-UFSCar.
Preparado para publicação na Internet por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar.
Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira
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Publicado em 06/06/2002. Atualizado em 06/06/2002.