SÓCRATES e MÊNON
Roberto Ribeiro Paterlini
Introdução
Mênon é um dos diálogos menores de Platão. Nele o autor coloca Sócrates dialogando com o estudante Mênon, o qual pretende que Sócrates lhe explique o que é a virtude. Em uma certa passagem do diálogo Mênon pede ao mestre que lhe explique o por que de sua opinião sobre o aprendizado. Pois Platão, através de Sócrates, propõe que nada aprendemos, mas apenas nos recordamos de conceitos que já sabíamos através de nossa alma. O Sócrates de Platão passa a demonstrar essa afirmação usando conceitos matemáticos.
| Detalhe do afresco "Causarum Cognitio" de Rafael Sanzio, em que o artista representa Platão e Aristóteles. Platão aponta com sua mão direita para cima, talvez se referindo às causas das coisas, e leva em sua mão esquerda um exemplar de sua obra Timeus. Confira Escola de Atenas. |  |
Segundo Fowler [1] pág. 7, essa parte do diálogo Mênon é o primeiro texto direto que conhecemos sobre a matemática grega. Data provavelmente de 385 a. C. Escritos mais antigos não sobreviveram, e são conhecidos apenas através de referências de terceiros.
Neste presente texto estaremos examinando a parte do diálogo de Mênon que mais diz respeito à História da Matemática. Faremos alguns comentários sobre os argumentos utilizados. Não nos deteremos nos aspectos gnosiológicos e pedagógicos do diálogo, mas naturalmente temos aqui um exemplo do chamado "método socrático".
Começamos apresentando a parte do diálogo que alguns especialistas intitulam Teoria da Reminiscência. Abaixo transcrevemos [3] páginas 56 a 60.
O Diálogo
Mênon: - Seja, Sócrates! Entretanto, o que é que
te leva a dizer que nada aprendemos e que o que chamamos de saber nada mais é do que
recordação? Poderias provar-me isso?
Sócrates: - Não faz muito, excelente Mênon, que te chamei de
habilidoso! Perguntas se te posso ensinar, quando agora mesmo afirmei claramente
que não há ensino, mas apenas reminiscência; estás procurando
precipitar-me em contradição comigo mesmo!
Mênon: - Não, por Zeus, caro Sócrates!
Não foi com essa intenção que fiz a pergunta, mas apenas levado pelo
hábito. Todavia, se te é possível mostrar-me de qualquer modo
que as coisas de fato se passam assim como o dizes, demonstra-mo, pois esse é
o meu desejo!
Sócrates: - Não é uma tarefa fácil o que
pedes; fá-la-ei, entretanto, de boa vontade, por se tratar de ti. Chama a
qualquer um dos escravos que te acompanham, qualquer um que queiras, a fim de que por meio
dele eu possa fazer a demonstração que pedes.
Mênon: - Com prazer. (Dirigindo-se a um de seus escravos
moços): Aproxima-te!
Sócrates: - Ele é grego e fala grego?
Mênon: - Sim; nasceu em minha casa.
Sócrates: - Então, caro Mênon, presta bem
atenção, e examina com cuidado se o que ele faz com meu auxílio
é recordar-se ou aprender.
Mênon: - Observarei com cuidado.
Sócrates: - (Voltando-se para o escravo ao mesmo tempo que
traça no solo as figuras necessárias à sua demonstração):
Dize-me, rapaz: sabes o que é um quadrado?
Escravo: - Sei.
Sócrates: - Não é uma figura, como esta, de quatro lados
iguais?
Escravo: - É.
Sócrates: - E estas linhas, que cortam o quadrado pelo meio,
não são também iguais?
Escravo: - São.
Sócrates: - Esta figura poderia ser maior ou menor, não
poderia?
Escravo: - Poderia.
Sócrates: - Se, pois, este lado mede dois pés e este
também dois pés, quantos pés terá a superfície
deste quadrado? Repara bem: se isto for igual a dois pés e isso igual a um
pé, a superfície não terá de ser o resultado de uma vez
dois pés?
Escravo: - Terá.
Sócrates: - Mas este lado mede também dois pés;
portanto a superfície não é igual a duas vezes dois pés?
Escravo: - É.
Sócrates: - A superfície por conseguinte mede duas vezes
dois pés?
Escravo: - Mede.
Sócrates: - E quanto iguala duas vezes dois pés? Conta
e dize!
Escravo: - Quatro, Sócrates.
Sócrates: - E não nos seria possível desenhar aqui
uma outra figura, com área dupla e de lados iguais como esta?
Escravo: - Sim, seria.
Sócrates: - E quantos pés, então, mediria a sua
superfície?
Escravo: - Oito.
Sócrates: - Bem; experimenta agora responder ao seguinte: que
comprimento terá cada lado da nova figura? Repara: o lado deste mede dois
pés, quanto medirá, então, cada lado do quadrado de área
dupla?
Escravo: - É claro que mede o dobro daquele.
Sócrates: - (A Mênon): Vês, caro Mênon, que nada
ensino, e que nada mais faço do que interrogá-lo? Este rapaz agora pensa
que sabe quanto mede a linha lateral que formará o quadrado de oito pés.
És da minha opinião?
Mênon: - Sou.
Sócrates: - Mas crês que ele de fato saiba?
Mênon: - Não, não sabe.
Sócrates: - Mas ele está convencido de que o quadrado de
área dupla tem também o lado duplo, não é?
Mênon: - Está, sem dúvida.
Sócrates: - Observa como ele irá recordando pouco a
pouco, de maneira exata. Responde-me (disse voltando-se para o escravo): tu dizes
que uma linha dupla dá origem a uma superfície duas vezes maior?
Compreende-me bem: não falo de uma superfície longa de um lado e curta de outro.
O que procuro é uma superfície como esta, igual em todos os sentidos,
mas que possua uma extensão dupla, ou mais exatamente, de oito pés.
Repara agora se ela resultará do desdobramento da linha.
Escravo: - Creio que sim.
Sócrates: - Será, pois, sobre esta linha que se construirá
a superfície de oito pés, se traçarmos quatro linhas semelhantes?
Escravo: - Sim.
Sócrates: - Desenhemos então os quatro lados. Esta é a
superfície de oito pés?
Escravo: - É.
Sócrates: - E agora? Não se encontram, porventura, dentro
dela estas quatro superfícies, das quais cada uma mede quatro pés?
Escravo: - É verdade!...
Sócrates: - Mas então? Qual é esta área?
Não é o quádruplo?
Escravo: - Necessariamente.
Sócrates: - O duplo e o quádruplo são a mesma coisa?
Escravo: - Nunca, por Zeus!
Sócrates: - E que são, então?
Escravo: - Duplo significa duas vezes; e quádruplo, quatro vezes.
Sócrates: - Por conseguinte, esta linha é o lado de um
quadrado cuja área mede quatro vezes a área do primeiro?
Escravo: - Sem dúvida.
Sócrates: - E quatro vezes quatro dá dezessseis, não
é?
Escravo: - Exatamente.
Sócrates: - Mas, então, qual é o lado do quadrado da
área dupla? Este lado dá o quádruplo, não dá?
Escravo: - Sim.
Sócrates: - A superfície de quatro pés quadrados tem
lados de dois pés?
Escravo: - Tem.
Sócrates: - O quadrado de oito pés quadrados é o dobro
do quadrado de quatro e a metade do quadrado de dezesseis pés, não é?
Escravo: - É.
Sócrates: - E seu lado, então, não será maior
do que o lado de um e menor do que o de outro desses dois quadrados?
Escravo: - Será.
Sócrates: - Bem; responde-me: este lado mede dois pés e
este quatro?
Escravo: - Sim.
Sócrates: - Logo, o lado da superfície de oito pés
quadrados terá mais do que dois e menos do que quatro pés.
Escravo: - Tem.
Sócrates: - Experimenta, então, reponder-me: qual é
o comprimento desse lado?
Escravo: - Três pés.
Sócrates: - Pois bem: se deve medir três pés,
deveremos acrescentar a essa linha a metade. Não temos três agora?
Dois pés aqui, e mais um aqui. E o mesmo faremos neste lado. Vê!, agora
temos o quadrado de que falaste.
Escravo: - Ele mesmo.
Sócrates: - Repara, entretanto: medindo este lado três pés
e o outro também pés, não se segue que a área deve ser três
pés vezes três pés?
Escravo: - Assim penso.
Sócrates: - E quanto é três vezes três?
Escravo: - Nove.
Sócrates: - E quantos pés deveria medir a área dupla?
Escravo: - Oito.
Sócrates: - Logo a linha de três pés não é o
lado do quadrado de oito pés, não é?
Escravo: - Não, não pode ser.
Sócrates: - E então? Afinal, qual é o lado do
quadrado sobre que estamos discutindo? Vê se podes reponder a isso de modo
correto! Se não queres fazê-lo por meio de contas, traça pelo
menos na areia a sua linha.
Escravo: - Mas, por Zeus, Sócrates, não sei!
Sócrates: - (Voltando-se para Mênon): Reparaste, caro Mênon,
os progressos que a sua recordação fez? Ele de fato nem sabia e nem sabe
qual é o comprimento do lado de um quadrado de oito pés quadrados; entretanto,
no início da palestra, acreditava saber, e tratou de responder categoricamente, como se
o soubesse; mas agora está em dúvida, e tem apenas a convicção
de que não o sabe!
Mênon: - Tens razão.
Sócrates: - E agora não se encontra ele, não obstante,
em melhores condições relativamente ao assunto?
Mênon: - Sem dúvida!
Sócrates: - Despertando-lhe dúvidas e paralisando-o como a
tremelga, acaso lhe causamos algum prejuízo?
Mênon: - De nenhum modo!
Sócrates: - Sim, parece-me que fizemos uma coisa que o ajudará
a descobrir a verdade! Agora ele sentirá prazer em estudar este assunto que
não conhece, ao passo que há pouco tal não faria, pois estava
firmemente convencido de que tinha toda razão de dizer e repetir diante de todos
que a área dupla deve ter o lado duplo!
Mênon: - É isso mesmo.
Sócrates: - Crês que anteriormente a isto ele procurou
estudar e descobrir o que não sabia, embora pensasse que o sabia?
Agora, porém, está em dúvida, sabe que não sabe e deseja muito
saber!
Mênon: - Com efeito.
Sócrates: - Diremos, então, que lhe foi vantajosa a
paralisação?
Mênon: - Como não!
Sócrates: - Examina, agora, o que em seguida a estas dúvidas
ele irá descobrir, procurando comigo. Só lhe farei perguntas; não lhe
ensinarei nada! Observa bem se o que faço é ensinar e transmitir
conhecimentos, ou apenas perguntar-lhe o que sabe. (E, ao escravo): Responde-me: não
é esta a figura de nosso quadrado cuja área mede quatro pés
quadrados?
Escravo: - É.
Sócrates: - A este quadrado não poderemos acrescentar este outro,
igual?
Escravo: - Podemos.
Sócrates: - E este terceiro, igual aos dois?
Escravo: - Podemos.
Sócrates: - E não poderemos preencher o ângulo com outro
quadrado, igual a estes três primeiros?
Escravo: - Podemos.
Sócrates: - E não temos agora quatro áreas iguais?
Escravo: - Temos.
Sócrates: - Que múltiplo do primeiro quadrado é a grande
figura inteira?
Escravo: - O quádruplo.
Sócrates: - E devíamos obter o dobro, recordaste?
Escravo: - Sim.
Sócrates: - E esta linha traçada de um vértice a outro
da cada um dos quadrados interiores não divide ao meio a área de cada um
deles?
Escravo: - Divide.
Sócrates: - E não temos assim quatro linhas que constituem uma
figura interior?
Escravo: - Exatamente.
Sócrates: - Repara, agora: qual é a área desta figura?
Escravo: - Não sei.
Sócrates: - Vê: dissemos que cada linha nestes quatro quadrados
dividia cada um pela metade, não dissemos?
Escravo: - Sim, dissemos.
Sócrates: - Bem; então quantas metades temos aqui?
Escravo: - Quatro.
Sócrates: - E aqui?
Escravo: - Duas.
Sócrates: - E em que relação aquelas quatro estão
para estas duas?
Escravo: - O dobro.
Sócrates: - Logo, quantos pés quadrados mede esta
superfície?
Escravo: - Oito.
Sócrates: - E qual é seu lado?
Escravo: - Esta linha.
Sócrates: - A linha traçada no quadrado de quatro pés
quadrados, de um vértice a outro?
Escravo: - Sim.
Sócrates: - Os sofistas dão a esta linha o nome de diagonal
e, por isso, usando esse nome, podemos dizer que a diagonal é o lado de um
quadrado de área dupla, exatamente como tu, ó escravo de Mênon, o
afirmaste.
Escravo: - Exatamente, Sócrates!
Comentários
Vamos acompanhar detidamente as figuras sugeridas pelo diálogo, e ver como Sócrates, através de um diálogo "socrático", conduz o jovem para a compreensão do resultado. Ou então, como afirma, ajuda o jovem a se lembrar de algo que já sabia.
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Observações finais
Vemos nesse diálogo de Platão um exemplo típico da nascente matemática da antiga Grécia. Trata-se de uma geometria completamente não arimetizada. Os objetos dessa geometria são pontos, linhas e figuras de duas ou três dimensões, e esses elementos são combinados, comparados, transformados.
Na linguagem matemática atual o raciocínio exposto acima pode ser sintetizado no seguinte teorema:
Teorema da duplicação do quadrado. O quadrado cujo lado é igual à diagonal de um quadrado dado tem área igual ao dobro da área deste.
1aDemonstração (usando a geometria não arimetizada do tempo de Platão):
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Consideremos um quadrado ABCD de área a. Observemos dois fatos:
1o) : Os triângulos ABC e ADC são isósceles, portanto seus ângulos agudos medem 45o cada um. O mesmo vale para os triângulos ABD e CBD . |
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2o) : Os triângulos ABC e ADC têm, cada um, base igual à altura e igual ao lado do quadrado. Como a área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura, segue que os triângulos ABC e ADC têm áreas iguais. Assim a área de cada um é a/2. O mesmo vale para os triângulos ABD e CBD .
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Agora dispomos quatro cópias do quadrado dado de forma a termos um quadrado maior como na figura ao lado. Consideremos as diagonais ali desenhadas. Essas diagonais têm o mesmo comprimento e formam entre si, nos pontos em que se encontram, ângulos de 90o, em virtude da propriedade 1) acima. Portanto essas diagonais formam um quadrado. Esse quadrado tem área igual a a/2+a/2+a/2+a/2=2a, em virtude da propriedade 2) acima. |
Conseqüentemente o quadrado cujo lado é igual à diagonal de um quadrado dado tem área igual ao dobro da área deste. Isto termina a demonstração do teorema.
2aDemonstração (usando nossa geometria arimetizada):
Dado um quadrado de lado l, sua diagonal mede
l, em virtude do Teorema de
Pitágoras. Portanto o quadrado cujo lado é esta diagonal tem área
( l ) 2 =
2 l 2,
A versão tridimensional desse teorema nos leva a um famoso problema da antiguidade:
| Problema da duplicação do cubo. Dado um cubo, construir o cubo cujo volume seja o dobro do volume daquele. |  |
A solução desse problema dentro do modelo algébrico hoje utilizado
é simples: para obter o lado do segundo cubo basta multiplicar o lado do
primeiro por
.
Entretanto, dentro do modelo da nascente
matemática grega, este problema teria que ser resolvido usando apenas os
instrumentos euclidianos: a régua não metrizada e o compasso. Com o
desenvolvimento do conceito de número real ficou claro no século XIX
que o problema da duplicação do cubo não tinha solução
na geometria não arimetizada do tempo de Platão.
Referências
[1] Fowler, D. H., The Mathematics of Plato's Academy. Oxford, Clarendon
Press, 1987.
[2] Heath, T. L., A Manual of Greek Mathematics. New York, Dover Publications,
1963.
[3] Platão, Diálogos: Mênon, Banquete, Fedro.
Tradução de Jorge Paleikat. Ediouro.
[4] Platão, Diálogos. Volumes I e II.
Tradução de Carlos Alberto Nunes. Universidade Federal do Pará, 1980.
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Apresentado para publicação em dd/mm/aaaa por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar.
Preparado para publicação na Internet pelo autor. As figuras foram compostas
pelo autor através do CorelPaint7, com excessão do detalhe do afresco
de Rafael, que foi adaptado de
http://christusrex.org/www1/stanzas/S2-Segnatura.html
Publicado em dd/mm/aaaa. Atualizado em dd/mm/aaaa.