SOLUÇÃO de

Roberto Ribeiro Paterlini

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Enunciado e solução do problema dos dois retângulos

Enunciado e solução do problema da elipse

Comentários adicionais sobre o problema dos dois retângulos

Comentários adicionais sobre o problema da elipse

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Problema 1: o problema dos dois retângulos

Em um plano, de uma região retangular retiramos uma região retangular nela contida. Como dividir a região remanescente em duas regiões de mesma área usando uma reta?

Solução do problema dos dois retângulos

Tome no plano uma reta contendo os centros dos retângulos.

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Problema 2: o problema da elipse

Dada uma região elíptica com eixos diferentes, construa uma região com área maior mas com mesmo perímetro.

Solução do problema da elipse

Dada uma região elíptica com semi-eixos , cortamos a região ao longo dos eixos, obtendo quatro regiões. Combinamos estas quatro regiões conforme está ilustrado na figura abaixo, obtendo uma região com área maior e com mesmo perímetro. A área da nova região supera a da anterior em .

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Comentários adicionais sobre o problema dos dois retângulos

1) solução detalhada do problema dos dois retângulos

Começamos lembrando um fato básico da Geometria Euclidiana Plana:

"As diagonais de um retângulo se intersectam ao meio."

Chamaremos de centro de uma região retangular à interseção de suas diagonais. Usando isto provaremos a

Proposição. Qualquer reta que contenha o centro de uma região retangular a divide em duas regiões de mesma área.
Demonstração. Se a reta que passa pelo centro da região retangular contém uma das diagonais então ela divide a região retangular em duas regiões triangulares de mesma área, e vale a Proposição neste caso. Suponhamos a seguir que a reta não contenha diagonal alguma. Sem perda de generalidade podemos considerar a situação da figura abaixo. é o centro da região retangular e é um segmento que passa por e divide a região retangular em duas regiões. Vamos verificar que os trapézios e têm áreas iguais.

Passamos agora a apresentar a solução do problema dos dois retângulos. Em um plano dado, sejam e duas regiões retangulares com . Seja a região do plano constituída pelos pontos de que não estão em .
Consideremos a reta que passa pelos centros das duas regiões retangulares. Se os centros são diferentes, existe uma única reta . Se os centros são iguais, tomamos qualquer reta contendo esse ponto. Afirmamos que divide em duas regiões de mesma área.
De acordo com a Proposição acima, a reta divide em duas regiões e de mesma área, e divide em duas regiões e de mesma área, onde e estão no mesmo semi-plano em relação à reta . Temos

2) investigações adicionais sobre o problema dos dois retângulos

2a) Ao usar o método de ensino da Matemática através de problemas o professor e o estudante devem estar sempre atentos às oportunidades que cada problema oferece. Geralmente a riqueza de um problema não se encerra com uma solução que visa obter uma resposta. Um problema pode ter inúmeros desdobramentos se considerarmos problemas similares, por exemplo, problemas obtidos a partir do primeiro mediante a mudança de hipóteses.

No caso do problema dos dois retângulos, podemos nos perguntar o que ocorre se modificarmos a hipótese de serem retangulares as regiões. Por exemplo, se usarmos discos em vez de retângulos, observamos que a reta que passa pelos centros dos discos divide a região anular disco maior - disco menor em duas regiões de mesma área. Podemos também combinar discos com retângulos. Confira a figura abaixo. Para quais outras regiões podemos aplicar a solução acima?

O problema dos dois retângulos pode também ter modificada a hipótese sobre a posição relativa das duas regiões. Fica evidente que, com pequena modificação, a solução acima se aplica também para o caso em que as duas regiões são disjuntas. Entretanto, se as duas regiões se intersectam e uma não está contida na outra, a solução acima não se aplica em geral.

2b) Mais geralmente, procuramos regiões do plano que gozam da seguinte propriedade:

Centro de Simetria de Área: existe um ponto do plano, chamado centro de , tal que toda reta que passa por esse ponto divide em duas regiões de mesma área.

Quais são as regiões do plano que gozam da propriedade de centro de simetria de área? Já comentamos que os discos e as regiões retangulares estão entre elas. Igualmente as regiões delimitadas por paralelogramos e elipses. O estudante pode também verificar que toda região poligonal regular com um número par de lados também goza da propriedade acima. Por outro lado a região delimitada por um triângulo equilátero não goza desta propriedade. Parece que assim ocorre com toda região poligonal regular com um número ímpar de lados.

2c) O problema dos dois retângulos pode ser generalizado sob outro ponto de vista. Usando continuidade de funções se pode provar que dada uma região limitada e mensurável do plano existe uma reta que a divide em duas regiões de mesma área. Aliás, existem infinitas retas com essa propriedade. Uma região do plano diz-se mensurável, grosseiramente falando, se ela tiver área. Este é o caso das regiões tratadas acima.

Isto vale também para duas regiões (disjuntas ou não) do plano, de acordo com o seguinte teorema:

Teorema: (Teorema das panquecas) Sejam dois subconjuntos limitados, abertos e conexos do plano. Existe uma reta no plano que divide cada um deles em dois subconjuntos de mesma área.

O nome do teorema vem da idéia de se dividir ao meio com um só corte reto duas panquecas colocadas em uma chapa. Este resultado não é elementar, e sua demonstração depende de propriedades topológicas de funções contínuas definidas no disco. Confira [1] páginas 64 a 69.

O teorema das panquecas pode ser generalizado. Dados subconjuntos limitados mensuráveis de existe um -plano em que divide cada uma das regiões em duas regiões de mesma medida. Por exemplo, se você tem um sanduíche feito de duas fatias de pão, uma de centeio e outra trigo, e uma fatia de queijo, é possível, com um corte plano, dividir ao meio o sanduíche de modo que cada parte fique com exatamente metade do volume da fatia de pão de trigo, metade do volume da fatia de pão de centeio e metade do volume da fatia de queijo. Confira [3] páginas 405 e 406 e [1] páginas 120 a 123.

Observamos que o teorema das panquecas demonstra que existe a reta, mas não nos diz quem é ela. Trata-se de um teorema de existência, não construtivo. A nossa primeira solução do problema dos dois retângulos é uma solução construtiva, pois através dela podemos encontrar a reta.

Referências

[1] Chinn, W. G. e Steenrood, N. E., First Concepts in Topology. New York, Random House, 1966.
[2] Mathematics Teacher, vol. 88, n 1, janeiro de 1995, problema 9 da seção Calendar Problems.
[3] Munkres, J. R., Elements of Algebraic Topology. Reading, Massachusetts, The Benjamin Cummings Publishing Company, 1984.

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Comentários adicionais sobre o problema da elipse

Chamamos de problema de isoperímetro ao problema que pergunta qual a região de maior área dentre as regiões de uma certa classe, todas de mesmo perímetro. Por exemplo, dentre os triângulos de mesmo perímetro, qual tem a maior área? Pode-se provar que é o triângulo equilátero. Outro exemplo: dentre os retângulos de mesmo perímetro, qual tem a maior área? Pode-se provar que é o quadrado.

Em conexão com o nosso problema da elipse temos o seguinte resultado: dentre todas as regiões elípticas de mesmo perímetro, o disco é a que tem maior área.

Este resultado não tem uma demonstração elementar. Nosso problema fornece uma solução apenas parcial. Admitindo a priori que dentre as regiões elípticas de mesmo perímetro exista uma que tenha a maior área, o problema da elipse exposto acima constata que essa região tem que ser o disco.

O problema de cercar com uma corda uma região plana com a maior área possível é bastante antigo. Foi estudado pelos matemáticos da Antiga Grécia, há 2500 anos, ou mesmo antes, por povos mais antigos ainda. Na Matemática Superior atual é conhecido o seguinte resultado: Seja um número dado. Seja a classe das curvas fechadas, simples e retificáveis de comprimento . Dentre todas as curvas a circunferência é a que determina a região de maior área.

Referências

[1] Mercuri, F. e Pedrosa, R. L., Uma Introdução às Desigualdades Isoperimétricas. 19^o Colóquio Brasileiro de Matemática. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, sem data.
[2] Niven, I., Maxima and Minima without Calculus. Mathematical Association of America, 1981.

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Esta matéria foi apresentada para publicação em 19 de fevereiro de 2002 por Roberto R. Paterlini, DM-UFSCar. Contribuíram Janey A. Daccach, da Universidade Mackenzie e Pedro Luiz Queiroz Pergher, do DM-UFSCar. O problema dos dois retângulos foi adaptado de The Mathematics Teacher, vol 88, n^o 1, janeiro de 1995, problema 9 da seção Calendar Problems. O problema da elipse foi cotado da página Concours de l'Association mathématique du Quebec.
Preparado para publicação na Internet por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar. Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira General License Agreement and Lack of Warranty sobre condições de uso.
Publicado em 11/04/2002. Atualizado em 06/06/2002.