SOLUÇÃO DO JOGO DA RAINHA

Roberto Ribeiro Paterlini

Descrição do Jogo da Rainha

O Jogo da Rainha consiste de um tabuleiro de jogo de xadrez e uma única peça, a Rainha. Jogam dois jogadores. Uma jogada consiste em movimentar a Rainha, que pode se deslocar um número arbitrário de casas mas 1 e nas direções indicadas. Vence quem colocar a Rainha na casa A8.

direções dos movimentos permitidos para a Rainha

Problema do Jogo da Rainha

A Rainha é colocada aleatoriamente em uma das casas do tabuleiro (exceto na casa A8). Qual a probabilidade do primeiro jogador ganhar o jogo?

Solução do Jogo da Rainha
Primeiro assinalamos as casas do tabuleiro com o número 1 se a casa for ganhadora para o primeiro jogador, e com o número 2 se a casa for ganhadora para o segundo jogador. Supomos que os jogadores sempre fazem a melhor jogada. Obtemos o resultado abaixo:

Para determinar as posições ganhadoras para 1 e 2 começamos observando que as casas da coluna 8, da linha A e da diagonal H1-A8 (exceto a casa A8) são posições ganhadoras para 1. Prosseguindo o exame das casas de baixo para cima e da direita para a esquerda vemos que B6 e C7 são posições ganhadoras para 2. Agora, todas as casas que atingem estas duas últimas com uma jogada são posições ganhadoras para 1. De fato, o jogador 1, ao jogar, passa em seguida a ser o jogador 2. E assim prosseguimos até preencher todo o tabuleiro.

A probabilidade do primeiro jogador ganhar é então 57/630,905=90,5%.

Variante do Jogo da Rainha

O mesmo problema anterior, mas agora os movimentos da Rainha obedecem ao esquema abaixo.

variante do Jogo da Rainha

Solução da variante do Jogo da Rainha

A probabilidade do primeiro jogador ganhar é 59/63 0,937=93,7%.

Referência: O problema O Jogo da Rainha foi adaptado de: Jean-Michel Kantor e Michel Darche, Mosaico Matemático. Apostila sem referência.

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Esta matéria foi apresentada para publicação em 19 de dezembro de 2000 por Roberto R. Paterlini, DM-UFSCar. Publicado no Hipertexto Pitágoras em 11/04/02. Preparado para publicação pelo autor.
Esta página foi atualizada em 11 de abril de 2002.