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ÁLGEBRAS DE LIE

Janey Antonio Daccach

Conferência proferida na
Universidade Federal de São Carlos
outubro de 2000

Definição: Uma Álgebra de Lie é um espaço vetorial munido de um produto

satisfazendo:
1) temos
2)    temos
A condição 2) é chamada identidade de Jacobi, e se e , então é chamado colchete de Lie de e .

Uma subálgebra de Lie de uma Álgebra de Lie é um subespaço vetorial fechado com relação ao colchete de Lie, ou seja, se e , então


Exemplos

1) Qualquer espaço vetorial com o colchete de Lie definido por Estas Álgebras de Lie são chamadas abelianas. Particularmente importantes são e, em geral,

2) Consideremos matrizes reais Como sabemos é canonicamente identificado ao espaço vetorial Não é o produto matricial que devemos considerar, uma vez que o produto matricial não satisfaz 1). O colchete de Lie será definido por:

É um exercício trivial verificar as condições 1) e 2) da definição. Estas Álgebras de Lie, junto com algumas de suas subálgebras constituem a parte mais importante desta teoria.

OBSERVAÇÃO: Por razões que veremos a seguir esta Álgebra de Lie será denotada por lembrando que

   satisfazendo

é o grupo das matrizes inversíveis, ou seja, o grupo das matrizes com determinante não nulo.
É imediato verificar que munido deste produto é uma Álgebra de Lie.

3) Seja definido por

   satisfazendo

Temos que verificar que o colchete de Lie induzido de de dois elementos de é um elemento de Seja então o que imediatamente nos fornece    e Assim temos:

OBSERVAÇÃO: Vamos enfatizar aqui a mesma observação do exemplo anterior com relação à notação. Lembremos que o subgrupo de das matrizes ortogonais é o subgrupo



4) Seja onde é o traço da matriz , ou seja se , então



OBSERVAÇÃO: Como estas notas foram escritas para uma conferência não enunciaremos os teoremas de maneira formal, entretanto as demonstrações de alguns fatos começam e terminam com o símbolo

Temos também que verificar a propriedade do fechamento, ou seja: Se    então Para tanto é necessário saber que o traço goza da propriedade, não tão óbvia,

cuja demonstração é a seguinte:
Se e , então onde , e onde
Desta forma temos

e

Desta forma se temos . Assim

OBSERVAÇÃO: Como nos exemplos anteriores ressaltemos aqui também que é o subgrupo


A Função Exponencial Matricial



Lembremos que nos cursos de Cálculo foi demonstrado que a função exponencial pode ser escrita como uma série que converge uniformemente nas partes compactas, ou seja

Se é uma matriz podemos da mesma maneira definir formalmente a série

entendendo que, se , então é a matriz para todo real.

Como é um espaço métrico faz sentido perguntar se esta série converge. Realmente esta série converge uniformemente nas partes compactas, definindo assim uma função analítica

Assim se    então é uma matriz bem definida de

Chamamos de esta função matricial única e exclusivamente para diferenciá-la da função real (ou complexa)

Lembremos que, dada uma matriz qualquer , existe uma matriz complexa inversível do tipo satisfazendo

ou seja no corpo dos complexos toda matriz é similar a uma matriz triangular.
Vamos fazer algumas observações:
1) Como , temos que ; ou seja matrizes similares tem o mesmo traço, e no nosso caso obtemos portanto

2) Como é inversível temos que , fato este que se prova por indução observando que

3) Se chamarmos temos que

e portanto



Compilando todos estes fatos concluimos o importante teorema:




Propriedades da Exponencial



1)Se , então
A demonstração segue das propriedades que vimos anteriormente.
Se , então

Desta forma

2)Se , então
Como vimos e se é uma matriz então

desta forma se é a matriz nula 0 temos que , onde é a matriz identidade.

Se valesse a propriedade poderíamos concluir o resultado da seguinte maneira: como por definição uma matriz é ortogonal se e somente se , se , então , e assim

e portanto é uma matriz ortogonal.

Mas esta propriedade é válida somente para um par de matrizes e comutantes , ou seja se

   então $\displaystyle \ \ exp(A+B)=exp(A)exp(B).$

Desta forma precisamos usar um outro argumento: Consideremos a curva diferenciável definida por

onde é uma matriz fixada em Usando a regra da cadeia, e diferenciando termo a termo a série que define temos:

Se então e portanto ou seja

constante

Desta forma

Provamos mais ainda: se , então

3) Se , então
Uma matriz se e somente se Então se , temos que . Desta forma Assim


Considerações Finais



As Álgebras de Lie desempenham um papel importante no estudo dos Grupos de Lie. Um Grupo de Lie $ G$ é um espaço topológico e também um grupo onde as operações de grupo e a inversão são funções contínuas; e mais ainda, são variedades diferenciáveis, espaços que se comportam como superfícies suaves onde as operações de grupo bem como a inversão são funções diferenciáveis, possuem em cada ponto um espaço tangente, que é um espaço vetorial da mesma dimensão que a dimensão do grupo visto como variedade diferenciável. Particularmente importante é o espaço tangente no elemento neutro do Grupo de Lie chamado sua Álgebra de Lie, onde de maneira semelhante ao que vimos anteriormente, é possível definir uma função chamada exponencial

que é um difeomorfismo local. Construímos no começo deste trabalho as Álgebras de Lie e suas respectivas exponenciais nos correspondentes Grupos de Lie:

Devemos enfatizar que grupos diferentes podem possuir as mesmas Álgebras de Lie, por exemplo

Entretanto localmente estes grupos são difeomorfos. As propriedades locais dos Grupos de Lie são obtidas na sua Álgebra de Lie via a função exponencial, mas as propriedades globais são obtidas usando-se outras ferramentas, como por exemplo Topologia Algébrica.

Propositadamente deixei para o final comentários sobre talvez a primeira Álgebra de Lie, cujo espaço vetorial é o e o colchete de Lie de dois vetores e é o conhecido produto vetorial, que se estuda em qualquer curso de Geometria Analítica, ou seja

Muita geometria se esconde por trás do colchete de Lie de dois vetores. Sabemos que o módulo de é dado por

onde é o ângulo entre e .

Agora dado o triângulo , se chamarmos e , então a área do triângulo que será denotada por é dada por

que nada mais é que um problema elementar de Geometria Analítica.

Usando este fato podemos demonstrar uma versão tridimensional do Teorema de Pitágoras, ou seja um teorema do tipo do Teorema de Pitágoras para tetraedos. Consideremos a figura abaixo:

Diremos que o tetraedro é reto em se os planos determinados por , e são perpendiculares. Os triângulos , e são as faces que correspondem aos catetos de um triângulo retângulo, e o triângulo a hipotenusa. Nestas condições temos o Teorema de Pitágoras tridimensional:

Temos:

Agora e ; e desta forma

Assim obtemos e multiplicando-se esta igualdade por 1/4 obtemos

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Apresentado para publicação em 27/12/2000 por Janey Antonio Daccach, da Universidade Presbiteriana Mackenzie. Preparado para publicação na Internet por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar. Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira General License Agreement and Lack of Warranty sobre condições de uso.
Publicado em 09/01/2002. Atualizado em 12/05/2002.