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FORMA COMBINATÓRIA DO TEOREMA DO PONTO FIXO DE BROUWER

Janey Antonio Daccach

1. INTRODUÇÃO

Seja um conjunto e uma função. Diremos que é um ponto fixo de se .

Num contexto mais específico quando o conjunto possuir alguma estrutura, obviamente exigiremos que seja uma função que respeita a estrutura. Assim quando o conjunto for um espaço métrico, por exemplo, exigiremos que seja uma função contínua.

Neste artigo, será um subconjunto dos números reais , com a distância usual.

O estudo da existência de ponto fixo tem sua importância como elemento fundamental para se determinar pontos de equilíbrio de Sistemas Dinâmicos Discretos, provar teoremas de existência e unicidade em Equações Diferenciais Ordinárias, além de constituir por si um objeto de pesquisa intensa, onde belos teoremas foram demonstrados, com destaque para o famoso Teorema do Ponto Fixo de Lefschetz-Hopf (ver [1], pág. 253).

Definição 1.1 Um espaço métrico tem a propriedade do ponto fixo se para toda função contínua existe satisfazendo:

Como exemplo podemos citar . Este espaço não tem a propriedade do ponto fixo, pois se , a função definida por

é contínua e não tem ponto fixo. Guiado por este exemplo o leitor está desafiado a mostrar que os intervalos abertos ou semi-abertos e os intervalos ilimitados semi-abertos ou semi-fechados não têm a propriedade do ponto fixo.

Desta família acima descrita sobraram somente os intervalos fechados, que serão denotados por

A razão de usarmos esta notação é que iremos considerar funções contínuas

Um ponto será chamado do tipo , ou mesmo , se , e do tipo se . Se for do tipo , o vetor do eixo aponta na direção positiva ("norte"), e se for do tipo , aponta na direção negativa ("sul").

Teorema 1.2 Se é um intervalo fechado, ele possui a propriedade do ponto fixo.

Qualquer bom livro de análise matemática apresenta uma demonstração deste teorema (ver [3], pág. 77), em geral como uma aplicação imediata do teorema do valor intermediário. Neste artigo vamos apresentar uma demonstração alternativa, que difere das demonstrações convencionais no sentido de ser mais construtiva.

Definição 1.3 Uma configuração de Sperner de um segmento fechado é uma partição finita deste segmento por pontos denotados aleatóriamente por ou por .

Exemplo 1.4 Eis um exemplo de uma configuração de Sperner:

Definição 1.5 Numa configuração de Sperner de um segmento , um segmento do tipo ou da partição é chamado um segmento de Sperner.

O ponto fundamental deste trabalho é o seguinte:

Teorema 1.6 Em qualquer configuração de Sperner de um segmento , o número de segmentos de Sperner é ímpar.

Demonstração. A prova será feita por indução.
1 - Se fizermos uma única divisão e chamarmos este ponto de então o segundo segmento é o único segmento de Sperner; se o chamarmos de , o primeiro segmento será o único segmento de Sperner.
2 - Suponhamos que nossa afirmação seja verdadeira para uma configuração de Sperner partindo com n pontos. Se tivermos uma configuração de Sperner com pontos e retirarmos o primeiro ponto interno teremos uma configuração de Sperner com um número ímpar de segmentos de Sperner pela hipótese de indução. Uma análise simples nos mostra que a introdução do ponto retirado nos fornece mais dois ou nenhum segmento de Sperner.

2. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA Seja uma função contínua. Se ou forem pontos fixos, nada mais há a fazer. Podemos então assumir que e não são pontos fixos, e então é do tipo e é do tipo . Dividamos o segmento por segmentos de mesmo comprimento com a introdução de 9 pontos. Se algum destes pontos tiver a propriedade , então ele é ponto fixo e não temos mais nada a demonstrar. Se nenhum destes pontos é ponto fixo, chamemos se e se . Temos assim uma configuração de Sperner, e, para efeito prático, cada ponto será chamado ou , por ter sido obtido na primeira divisão. Pelo Teorema 1.6 existe um número ímpar de segmentos de Sperner nesta configuração, e conseqüentemente podemos tomar um deles que será da forma ou . Vamos denotar por este segmento e notemos que seu comprimento é Repetindo o argumento formamos assim uma seqüência de intervalos encaixados

onde

Logo existe um ponto que pertence a todos os intervalos (ver [3] pág. 17 Teorema 4, ou [2] pág. 68). Temos três possibilidades: , ou , ou . Se , então é do tipo . Como é contínua, pelo Teorema da Conservação do Sinal existe um tal que todo ponto do intervalo é do tipo . Mas dentro deste intervalo existe um segmento de Sperner para suficientemente grande, e assim no intervalo temos pontos do tipo . Portanto não é do tipo . Se , um raciocínio análogo também conduz a uma contradição. Resta , então é ponto fixo, e nada mais há a demonstrar.

Observação 2.1 Para cada segmento de Sperner na primeira sub-divisão existe um ponto fixo no seu interior.

Observação 2.2 Se começarmos a primeira subdivisão com 100 sub-intervalos a probabilidade de acharmos mais pontos fixos obviamente aumenta, pois a probabilidade de encontrarmos segmentos de Sperner aumenta.

Observação 2.3 Esta demonstração aqui apresentada é mais "forte" que as habituais no sentido de além de demonstrar a existência de um ponto fixo, fornece um algoritmo de rastreamento de procura do conjunto dos pontos fixos. É muito fácil usar qualquer software, por exemplo Maple ou Mathematica, para gerar um programa para rastrear os pontos fixos de .

3. UM EXEMPLO Vamos considerar a função `` serra''

e seja a função definida por

Na figura abaixo, o gráfico de obtido usando o Mathematica é a linha de cor vermelha. A linha de cor verde é o gráfico da função identidade.

A figura mostra claramente que esta função tem oito pontos fixos no intervalo considerado.

Vamos definir várias partições do intervalo

Os pontos de uma partição em subintervalos de igual comprimento com subintervalos são os pontos da forma

Se é um ponto de uma partição e , então este ponto, segundo a terminologia adotada, é um ponto do tipo ou ponto fixo; e se então ele será do tipo

A rotina para uma partição em 4 segmentos usando o Mathematica é a seguinte:





Observe que em digitamos a frase ; se a frase for verdadeira (True) isto significa que o ponto é do tipo ou fixo, caso contrário será um ponto do tipo . Como é ponto fixo, o primeiro ponto na tabela sempre será , e este ponto é fixo.

Isto significa que temos a seguinte configuração de Sperner:

e portanto conseguimos localizar somente o ponto fixo que já conhecíamos a priori.

Nosso próximo experimento será com uma partição contendo 8 intervalos. A rotina para este caso é dada por:





Vemos que não progredimos muito, pois a configuração de Sperner neste caso é:

ou seja conseguimos rastrear somente o mesmo ponto fixo que é o .

Façamos agora um experimento com 7 intervalos.





Isto significa que temos a seguinte configuração de Sperner:

e portanto além do conseguimos localizar pontos fixos no quinto, sexto e sétimo intervalos; ou seja rastreamos 4 pontos fixos. Isto já está bem próximo de nosso objetivo, pois sabemos que temos 7.

Vamos omitir a rotina, e fazer um experimento com 16 intervalos.






A configuração de Sperner neste caso é :

e portanto localizamos pontos fixos no quarto, quinto, oitavo, décimo, décimo primeiro, décimo quarto e décimo quinto intervalos, que junto com o ponto constituem a totalidade de pontos fixos.

4. REFERÊNCIAS

[1] Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer-Verlag, 1993.
[2] R. Courant e H. Robbins, What is Mathematics?, Oxford University Press, Second Edition, 1996.
[3] Elon Lages Lima, Análise Real, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 3a Edição, 1997.

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Apresentado para publicação em 21/10/2003 por Janey Antonio Daccach, da Universidade Presbiteriana Mackenzie. Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira General License Agreement and Lack of Warranty sobre condições de uso.
Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.