A PROPRIEDADE DO TAUTOCRONISMO DA CICLÓIDE

Janey A. Daccach e Gilberto G. Garbi

1. Introdução

A Ciclóide é a curva gerada pela trajetória de um ponto numa circunferência de centro e raio que rola sem deslizar sobre uma reta. Vamos fixar a reta como sendo o eixo e denotar por o ângulo formado pela semi-reta vertical que passa por e pelo ponto de tangência da circunferência com o eixo e o segmento que une com . Para um ângulo genérico temos a figura abaixo, onde colocamos para a circunferência geradora.

Nestas condições é imediata a dedução das equações paramétricas da Ciclóide:

O primeiro matemático que começou a estudar a Ciclóide foi o francês Charles Bouvelles (1470-1553), mas somente na primeira metade do século XVII é que ela recebeu as atenções de nomes famosos como Descartes, Mersenne, Pascal, Galileu, Torricelli e Roberval. Em tal época conseguiu-se, por exemplo, calcular sua área, traçar sua tangente por um ponto qualquer e determinar o comprimento de um arco ligando dois pontos arbitrários. Como isto ocorreu antes da invenção dos cálculos Diferencial e Integral, os matemáticos precisaram valer-se de métodos muito criativos, como o dos "indivisíveis", divulgado por Bonaventura Cavalieri (1598-1647) e que, em essência, equivalia ao método da exaustão de Eudóxio/Arquimedes.

A Ciclóide tem propriedades fantásticas como a do tautocronismo, descoberto por Christian Huygens (1629-1695) por volta de 1656, quando procurava construir relógios com precisão superior à daqueles que utilizavam pêndulos convencionais.

Huygens provou que um ponto material, partindo do repouso e deixado deslizar sem atrito sobre um arco de Ciclóide invertido, atinge o nível inferior em um intervalo de tempo que independe do ponto de partida. A esta propriedade deu-se o nome de tautocronismo, do grego tauto, que significa igual, e cronos, que significa tempo. Em outras palavras, um pêndulo que se desloca ao longo de uma Ciclóide invertida apresenta um período de oscilação que não depende da amplitude do movimento. A prova foi publicada em 1673 em seu célebre tratado Horologium Oscillatorium, o mais importante livro de mecânica escrito antes dos Principia, de Isaac Newton (1687).

Outra surpreendente propriedade da Ciclóide foi descoberta por Jean Bernoulli (1667-1748) em 1696, quando pesquisava o problema da Braquistócrona, ou seja, o de encontrar a trajetória que minimiza o tempo gasto por um corpo, partindo do repouso e sujeito apenas à ação da gravidade, para ir de um ponto a outro, em níveis diferentes e não situados sobre a mesma vertical. Bernoulli descobriu que a Braquistócrona é, também, um arco invertido de Ciclóide. Entusiasmado com seu feito, decidiu desafiar publicamente os melhores matemáticos do mundo, dando-lhes 6 meses para que apresentassem soluções do problema, após o que ele publicaria sua própria. Dentro do prazo, somente G. W. Leibniz resolveu a questão. Bernoulli, então, estendeu o prazo em mais 4 meses e enviou algumas cartas a grandes matemáticos, entre eles Isaac Newton. Newton recebeu-a em uma tarde de janeiro de 1697, ao retornar de um dia de trabalho na Casa da Moeda da Inglaterra. Interessado pela questão, mergulhou nela sem sequer haver jantado e resolveu-a na mesma madrugada. Não desejando qualquer contato com Bernoulli, que tomara o partido de Leibniz na disputa pela primazia da invenção do Cálculo, Newton publicou sua solução anonimamente no jornal da Royal Society. Algum tempo depois, lendo-a, Jean Bernoulli não teve a menor dúvida de que somente um homem na Inglaterra teria sido capaz daquela façanha. Arrebatado pelo gênio de Newton, consta que Bernoulli teria dito estas palavras: "Pelas garras se conhece o leão". O Marquês de L'Hopital e Jacques Bernoulli, irmão mais velho de Jean, também resolveram o problema da Braquistócrona. A elegante solução dada por Jacques Bernoulli pode ser encontrada em [1].

Utilizando-se ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral, é simples demonstrar o tautocronismo da Ciclóide. Neste artigo, entretanto, daremos uma prova elementar utilizando propriedades do chamado Movimento Harmônico Simples, conhecido como M.H.S., que, aliás foi estudado pela primeira vez pelo mesmo Huygens, entretanto não utilizado por ele para demonstrar o tautocronismo da Ciclóide.

Esta e outras belas páginas da História da Matemática se encontram no livro [3] de autoria do segundo autor deste artigo.

2. O Movimento Harmônico Simples

Vamos descrever a caracterização do Movimento Harmônico Simples de uma forma sintética que pode ser encontrada em qualquer bom livro de Física, por exemplo [2], Cap. 21. Quando um ponto se desloca em um movimento harmônico simples diremos que ele está em M.H.S.

1. Um ponto material movimenta-se em M.H.S. quando se desloca sobre uma trajetória (não necessariamente retilínea) de forma tal que sua coordenada , medida a partir de uma origem fixada nesta curva, é dada no tempo pela função
   
   sendo a amplitude, a velocidade angular e a fase no instante .
2. A velocidade e a aceleração desse movimento são facilmente calculáveis usando o conceito de limite. Em especial a aceleração é
      ou

3. Pela segunda lei de Newton, a força que atua sobre o corpo é então
   
   e, chamando (que é positivo) de , obtemos
   

4. Desta forma, se um corpo descreve um M.H.S., a força que age sobre ele é proporcional e de sentido contrário à sua coordenada linear sobre a trajetória. A recíproca é verdadeira. Não há outra função que não seja o seno que goze de tal propriedade. Lembrar que o cosseno é um seno defasado de .
5. Como e , chamando o período de , temos ou

   Em outras palavras, conhecidas a constante e a massa do ponto, calcula-se o período do M.H.S.

Demonstração do tautocronismo

A propriedade dos ângulos e indicada na Fig. 2 foi descoberta independentemente por Roberval e Torricelli na primeira metade do século XVII. O comprimento da Ciclóide é , onde é o raio da circunferência geradora da Ciclóide, e o comprimento do arco da Ciclóide correspondente a um giro de ângulo é dado por Estes resultados são facilmente obtidos por simples integrações, muito embora Roberval e Torricelli tenham calculado por métodos elementares. Desta forma o comprimento do arco da Ciclóide do ponto de mínimo até é dado por

A componente tangencial da força que atua num ponto material localizado no ponto é

Desta forma temos que , e colocando isto na expressão da força, temos

Não só fica caracterizado um M.H.S. mas, mais importante ainda, a constante que define o período não depende de , ou seja, do ponto de partida.

Concluímos portanto que o período de oscilação independe do ponto , e como já vimos, seu valor é

Referências Bibliográficas

[1] R. Courant e H. Robbins, What is Mathematics? New York, Oxford University Press, 1996.
[2] R. P. Feynman, R. B. Leighton e M. Sands, The Feynman Lectures on Physics. Reading, Massachusetts, Addison Wesley Publishing Company, 1977.
[3] G. G. Garbi, A Rainha das Ciências. A ser publicado pela Editora Livraria da Física, São Paulo.

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Apresentado para publicação em 20/04/2006 por Janey Antonio Daccach (jdaccach@uol.com.br) e Gilberto G. Garbi (ggarbi@terra.com.br). Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira General License Agreement and Lack of Warranty.
Publicado em 20/11/2006. Atualizado em 20/11/2006.