O MÉTODO DA EXAUSTÃO E APLICAÇÕES
0. INTRODUÇÃO
Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan de Azevedo
Os antigos matemáticos gregos se dedicaram, desde o tempo de Tales e Pitágoras, à investigação das propriedades das figuras geométricas e dos números inteiros positivos. A conexão entre essas duas áreas era feita através das razões e proporções. No início as argumentações eram desenvolvidas como se só existissem os números inteiros e as razões entre eles, isto é, como se só existissem os números racionais. Ou, na formulação da Antiga Grécia, só existiriam as grandezas comensuráveis.
Em uma certa altura ficou clara a existência das grandezas incomensuráveis, ou, como dizemos hoje, dos números irracionais. Investigações realizadas por historiadores ainda não foram suficientes para determinar com exatidão a época dessa descoberta. A primeira referência inequívoca à incomensurabilidade se encontra na obra Theaetetus, de Platão, escrita por volta de 400 a. C. É provável, entretanto, que exemplos de grandezas incomensuráveis fossem conhecidos pelos primeiros matemáticos da Escola Pitagórica (cerca de 500 a. C.), por Demócrito (cerca de 460 a. C.), por Hipaso de Metaponto (400 a. C.), e outros. É provável ainda que as primeiras grandezas incomensuráveis conhecidas foram o lado e a diagonal do quadrado e do pentágono.
À medida que a Matemática foi se tornando arimetizada e dedutiva as grandezas incomensuráveis se tornaram um sério problema, gerando o que se costuma chamar de crise dos incomensuráveis. O problema foi estudado por Eudoxo de Cnido e Theaeteto de Atenas, discípulos de Platão. Eudoxo apresentou um novo modelo de proporções e criou o que hoje chamamos de Método da Exaustão, proporcionando uma metodologia que permitia demonstrar teoremas com um nível de rigor aceitável para a época.
O Método da Exaustão tem uma axiomatização própria. Sua formulação original não pode ser considerada rigorosa para os padrões atuais, mas deu ensejo à axiomatização dos números reais, feita no século XIX. Recentemente, D. T. Whiteside utilizou os recursos da Análise moderna para expor o essencial do método, criando uma estrutura generalizada da técnica da exaustão, particularmente na versão em que era utilizada no Século XVII. Whiteside refere-se a essa estrutura como "equivalente à integral definida de Cauchy-Rieman".
O presente trabalho visa expor o Método da Exaustão, fazendo ligação com o desenvolvimento histórico, seguindo de perto os passos dos seus grandes exploradores, chegando assim aos resultados notáveis encontrados por eles através desse elegante método. Também é objetivo deste trabalho dar um destaque para as realizações de Arquimedes, que utilizou o método com completa maestria.
Nossa apresentação do Método da Exaustão não pretende seguir uma axiomatização rigorosa. Pensamos que esta exposição será útil ao estudante e ao professor de Matemática, que poderão compartilhar conosco a beleza da evolução da Matemática e usar esses conhecimentos para um melhor desenvolvimento de suas atividades de ensino e aprendizagem.
Este trabalho é uma adaptação da monografia de graduação
de Elivan de Azevedo, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar,
sob a orientação de Roberto Ribeiro Paterlini,
Departamento de Matemática da UFSCar.
Apresentado para publicação em dd/mm/aaaa.
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Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.