O MÉTODO DA EXAUSTÃO E APLICAÇÕES
| 3. O APARECIMENTO DE | |
Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan de Azevedo
Os antigos sabiam da existência da constante
como razão entre a área de um disco qualquer e o quadrado de seu raio.
A princípio os matemáticos só tinham justificativas heurísticas
para isso, mas com o Método da Exaustão puderam construir demonstrações.
Vamos demonstrar, usando o Método da Exaustão, que é constante a razão entre a área de um disco e o quadrado de seu raio. Começaremos com dois lemas.
Dado um polígono
e uma circunferência
,
indicaremos por
e
,
respectivamente, as áreas da região poligonal delimitada por
e do disco delimitado por
.
Lema 3.1 Sejam
um polígono regular de
lados inscrito (respectivamente circunscrito) em uma circunferência
de raio
e
um polígono regular de
lados inscrito (respectivamente circunscrito) em uma circunferência
de raio
. Então
Admitiremos ainda como postulado que todo disco tem área e que a área de
qualquer polígono inscrito em uma circunferência
é menor do que
a área do disco delimitado por
.
Lema 3.2 Dada uma circunferência
e um número
positivo
, existe um
polígono regular
inscrito em
tal que
inscrito em
. Seja
Dobrando o número de lados obtemos um octógono regular
inscrito em C. Seja
Continuando desta forma, definimos uma seqüência de polígonos regulares
inscritos em
:
tem
lados, e
é um lado do polígono
.
.
.
Seja
a interseção dessa reta com o arco
.
Então
e
são lados consecutivos de
.
Na reta que passa por
e é paralela a
tomamos os pontos
e
de modo que
seja um retângulo. Note que
é tangente a
em
e
indica a área do segmento de disco delimitado pelo arco de circunferência
e pelo segmento de reta
.
Daí temos
tal que
.
Teorema 3.3 Se
e
são circunferências de raios
e
,
respectivamente, então
e
temos as possibilidades
Suponhamos primeiro que seja válido
.
Pondo
temos
.
Seja
.
Notemos que
.
Em virtude do Lema 3.2 acima, existe um polígono regular
inscrito em
,
tal que
um polígono regular inscrito em
com o mesmo número de lados de
.
Temos:
.
Isto leva uma contradição, portanto não vale a condição
.
De forma análoga se vê que não vale a condição
.
Concluímos então que vale a condição
Demonstração. De fato, se
e
são duas circunferências e se
e
são seus respectivos raios, então, em virtude do Teorema 3.3 acima, temos
Definição. Chamaremos de
o número definido no Escólio acima, isto é, para qualquer
circunferência
de raio
,
seja:
de raio
,
temos
e
,
a propriedade chamada tricotomia nos diz que vale uma e exclusivamente uma
das seguintes condições:
,
basta demonstrar que não ocorre nenhuma das condições
ou
.
Uma forma de mostrar isso é usando contradição. Supõe-se que vale
e mostra-se que isto conduz a uma contradição. O mesmo pode ser feito para
.
Esse método de demonstração, muito usado pelos antigos gregos, chama-se dupla redução ao absurdo.
Referência: EDWARDS, C. H., The Historical Development of the Calculus. New York, Springer-Verlag, 1979.
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Este trabalho é uma adaptação da monografia de graduação
de Elivan de Azevedo, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar,
sob a orientação de Roberto Ribeiro Paterlini,
Departamento de Matemática da UFSCar.
Apresentado para publicação em dd/mm/aaaa.
Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira
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Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.