O QUE É O MÉTODO GENÉTICO PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA

Roberto Ribeiro Paterlini

1. Introdução

Costuma-se designar com a expressão "ensino tradicional" da Matemática o método em que o professor expõe aos estudantes os conceitos, resultados e técnicas de uma determinada matéria da Matemática. Esses conceitos, resultados e técnicas, no chamado ensino tradicional, são apresentados em uma seqüência lógico-dedutiva, sob uma forma acabada, usando as definições, teoremas e métodos em sua expressão mais refinada obtida até aquele momento.

O "ensino tradicional" da Matemática é também, às vezes, designado por "ensino bourbakiano", em homenagem ao personagem fictício Nicolas Bourbaki, cognome utilizado por um grupo de matemáticos. Assim como Euclides que, no século terceiro antes de Cristo, procurou sintetizar o conhecimento matemático de seu tempo em uma estrutura lógico-dedutiva, esse grupo de excelentes matemáticos tentou fazer o mesmo com o conhecimento matemático de meados do Século XX.

Todos nós conhecemos a influência que Os Elementos de Euclides exerceram no ensino da Matemática ao longo de muitos séculos, e sabemos que o ensino bourbakiano é empregado em alto grau em nossas escolas, seja da educação básica, seja da educação superior. Isto não deixa de ser supreendente, pois o método bourbakiano não é utilizado pelos matemáticos em suas atividades de investigação. O exemplo mais clássico deste fenômeno vemos em O Método [Arquimedes], em que Arquimedes relata como investigava os fatos matemáticos e depois se esforçava em inserí-los na metodologia lógico-dedutiva utilizada em sua época, seguindo uma metodologia distinta daquela que havia gerado sua descoberta.

Não nos deteremos em analisar esse aparentemente estranho fenômeno, exceto para alertar que não temos reparo algum a fazer. Por que razão iríamos depreciar Os Elementos de Euclides, sabendo da paixão científica que causou a inúmeros estudiosos ao longo dos tempos? Talvez tudo se explique se compreendermos nosso ciclo, em que tivemos a tarefa de desenvolver a mente concreta.

Entretanto, os ciclos vêm e vão, e a força centrípeta da evolução não nos permite estacionar no que foi conseguido. Enquanto o novo ciclo apenas desponta, constatamos a necessidade de mudar. O ensino tradicional não responde mais às necessidades, muitos reparos podem ser feitos. Procura-se um novo paradigma no ensino da Matemática, que possa "formar alunos mais criativos e críticos" ([Simis], último parágrafo do item II). Para isso várias propostas têm sido implementadas, como o Ensino da Matemática através de Problemas e o desenvolvimento curricular em rede ([Pires]).

Aqui nos propomos fazer uma exposição suscinta do chamado Método Genético para o ensino da Matemática.

2. O Método Genético.

O Método Genético para o Ensino da Matemática propõe o uso de seqüências ensino-aprendizagem construídas segundo a gênese e desenvolvimento do assunto objeto de estudo.

O Método Genético aborda uma teoria matemática a partir de suas idéias mais simples, primitivas, segundo as condições naturais de seu aparecimento na tela mental ou na história. Os conceitos, resultados e técnicas de uma teoria passam a ser objetos re-construídos, vivenciados, têm uma história de investigação, de perguntas, de procura de respostas, na experiência do estudante.

No meio matemático, a expressão "método genético" parece ter sido utilizada pela primeira vez por Otto Toeplitz em 1926. Autor de um livro didático de Cálculo Diferencial e Integral [Toeplitz], onde usou este método, Toeplitz estava convencido de que os estudantes adquirem compreensão dos conceitos e métodos do Cálculo apenas quando se lhes apresenta a gênese e desenvolvimento.

Harold M. Edwards também utilizou o método genético em sua apresentação do Último Teorema de Fermat [Edwards]. Segundo este autor, a melhor maneira de superar a dificuldade em aprender uma teoria matemática abstrata é ignorar os tratados modernos até que se tenha estudado sua gênese. Em sua visão, o método genético consiste em examinar as origens históricas de uma idéia com a finalidade de melhor motivar seu estudo, em contraste com o método tradicional, que não coloca atenção nas perguntas e apenas apresenta as respostas. Confira o prefácio de [Edwards].

São duas as vertentes com que se pode implementar o método genético para o ensino da Matemática. Uma utiliza a História da Matemática. A outra consiste em examinar a forma como os indivíduos aprendem e, com essa informação, construir seqüências ensino-aprendizagem que levem em conta a gênese e o desenvolvimento do assunto. Esta última forma, que podemos chamar de epistemológica, é utilizada nas séries iniciais em um pequeno número de escolas, geralmente aquelas que desenvolvem o ensino construtivista. A escola média e a escola superior ficam fora. O método histórico tem sido mais usado em conferências especializadas sobre matemática avançada, mas poderá ser aplicado nas escolas média e superior, já que a literatura necessária para isso tem aumentado bastante (infelizmente a maioria em língua inglesa).

3. O Método Genético e a História da Matemática.

A História da Matemática é, sem dúvida, a mais importante fonte disponível para a construção de seqüências ensino-aprendizagem segundo o método genético. Na história observamos a gênese e evolução dos conceitos e técnicas matemáticas. No nascimento de uma teoria geralmente se encontram questões relevantes que podem explicar o "porque" deste nascimento. Ali estão as perguntas iniciais, as técnicas mais simples, que podem servir de introdução às técnicas mais complexas surgidas posteriormente.

Em seu livro The Calculus, a Genetic Approach, Toeplitz segue a inspiração histórica para apresentar os conceitos do Cálculo ao estudante. Inicia com uma discussão sobre as especulações dos antigos matemáticos gregos sobre os processos infinitos, a teoria das proporções, o método da exaustão, a medida da circunferência de Arquimedes, o conceito de número, limites de seqüências e séries numéricas. O estudo da integral definida se inicia com a quadratura da parábola por Arquimedes, e a retomada deste problema 18 séculos após com Cavalieri. A derivação é apresentada com o estudo do problema de se encontrar a tangente a uma curva em um ponto, com problemas de máximos e mínimos e o conceito de velocidade de Galileu. O estudo dos logaritmos lança uma luz sobre a relação entre derivada e integral. O livro termina com aplicações a problemas de movimento, como o pêndulo, oscilações, leis de Kepler e de Newton. Toeplitz deixou o livro inacabado, tendo falecido em 1940 em Jerusalém, após deixar a Alemanha em 1939.

Harold M. Edwards, em Fermat's Last Theorem, a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, também utilizou o método histórico. Inicia o livro com o estudo dos ternos pitagóricos. Ali está presente o impulso original, quando os matemáticos da Antiga Grécia se propuseram a tarefa de encontrar todas as soluções de uma determinada equação. O autor apresenta as técnicas iniciais, o método da descida infinita de Fermat, a demonstração de Euler do caso , e assuntos correlatos que deram ensejo ao nascimento da teoria algébrica dos números. Prossegue com a teoria dos ideais de Kummer, a teoria de Gauss das formas quadráticas binárias, e encerra com contribuições de Dirichlet.

Aqui lembramos a lei biogenética da Psicologia, que afirma que o indivíduo, desde seu nascimento até sua maturidade, repete as principais etapas do desenvolvimento humano ("a ontogênese recapitula a filogênese", cit. [Silva] página 131). Desta forma o uso da história no ensino da Matemática é proposto por muitos estudiosos, por exemplo, o matemático Felix Klein. Para mais detalhes e bibliografia confira [Silva].

Vários autores apontam a diferença entre estudar História da Matemática e seu uso para o ensino. Silva afirma que "o simples estudo desta disciplina não fornece ao professor condições para introduzi-la em sala de aula" (confira [Silva], página 136). Segundo Toeplitz (confira prefácio de [Toeplitz]), o historiador recorda todos os fatos ocorridos, sejam bons ou ruins; por outro lado, o método genético seleciona a gênese e os pontos cardeais de problemas, fatos e provas. Segundo Edwards (confira prefácio de [Edwards]), a História da Matemática não se detém na descrição da teoria, a não ser o mínimo necessário para o entendimento dos fatos, e o método genético não busca um estudo detalhado dos eventos que não contribuem para o entendimento do assunto.

4. A epistemologia genética de Jean Piaget.

Não parece ser muito simples criar seqüências ensino-aprendizagem segundo o método genético investigando como os indivíduos aprendem. Talvez esta seja uma tarefa difícil para nós que aprendemos pelo método antigo. Talvez seja por que nos falte treinamento, ou falte literatura adequada. O conhecimento científico desenvolvido nessa área, ao que sei, se limita às crianças e à pré-escola e às séries iniciais.

As investigações de Jean Piaget sobre a natureza e a origem do conhecimento, especialmente do conhecimento matemático, incentivaram muitos especialistas a estudarem formas de transpor para o ambiente escolar suas teses. Constance Kamii, especialista em Educação Matemática, trabalhou com estudantes das séries iniciais em escolas americanas, e, juntamente com colaboradores, escreveu vários livros propondo atividades para o ensino da aritmética. Ela e seus colaboradores propõem eliminar a instrução tradicional da aritmética e substituí-la por situações diárias em sala de aula e jogos em grupo (confira [Kamii 1], página 15). As atividades propostas em seus livros constituem exemplo de ensino genético da Matemática.

5. Fim.

Para finalizar, algumas digressões filosóficas.

A epistemologia de Piaget não apenas propõe uma forma de ensinar-aprender diferente do método tradicional, mas nos estimula a ir em direção a uma visão relativa do nosso particular conhecimento matemático. Por exemplo, lemos em [Kamii 3] página 26: Educadores matemáticos tradicionais dizem, com freqüência, que um número é uma propriedade de um conjunto e que um conjunto de oito objetos, por exemplo, tem a propriedade "oito". Para mim, esse é um sério engano. Conjuntos não fazem nada por si mesmos e não podem "ter" uma propriedade. O ato de "possuir" é produzido pela criança que constrói os conceitos numéricos e os impõe aos conjuntos. Essa afirmação pode ser esclarecida por uma apresentação da teoria dos números de Piaget, na qual ele estabelece que a criança constrói os conceitos numéricos sintetizando dois tipos de relações: de ordem e de inclusão hierárquica.

Bem, se um matemático afirma alguma coisa sobre os números, não vou interpretar nada, pois quem sabe as limitações de comunicação que está encontrando para conseguir expressar sua idéia. Quem ousaria interpretar o conceito de número que havia na mente de Ramanujan? Mas parece que lá na escola fundamental é assim que chegam as coisas, o oito fica sendo uma propriedade do tal conjunto.

Se conseguirmos vivenciar a idéia de que a Teoria dos Números e tudo o mais na Matemática são modelos cognitivos, talvez as coisas mudem.

6. Referências e bibliografia.

[Arquimedes] Arquimedes, O Método. Confira Heath, T. L., A History of Greek Mathematics. Oxford, Clarendon Press, 1922. Uma descrição acessível para o estudante pode ser vista em Geraldo Ávila, Arquimedes, a esfera e o cilindro. Revista do Professor de Matemática, número 10, 1987. Outra referência acessível para o estudante, do mesmo autor, é Arquimedes, o Rigor e o Método. Revista Matemática Universitária, número 4, dezembro de 1986.
[Edwards] Edwards, H. M., Fermat's Last Theorem, a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. New York, Springer Verlag, 1977.
[Euclides] Confira David E. Joyce Home Page (Contém Os Elementos de Euclides)
[Kamii 1] Kamii, C. e DeClark, G., Reinventando a Aritmética. Implicações da teoria de Piaget. 3a. edição. Campinas, Papirus Editora, 1990.
[Kamii 2] Kamii, C. e Devries, R., Piaget para a educação pré-escolar. 2a. edição. Porto Alegre, Artes Médicas Editora, 1992.
[Kamii 3] Kamii, C. e Joseph, L. L., Aritmética: Novas Perspectivas. Implicações da teoria de Piaget. 3a. edição. Campinas, Papirus Editora, 1994.
[Kamii 4] Kamii, C. e Livingston, S. J., Desvendando a Aritmética. Implicações da teoria de Piaget. 2a. edição. Campinas, Papirus Editora, 1995.
[Pires] Pires, C. M. C., Currículos de Matemática: Da Organização Linear á Idéia de Rede. São Paulo, FTD, 2000.
[Silva] Silva, C. M. S., A História da Matemática e os Cursos de Formação de Professores. In Cury, M. H. (org.), Formação de Professores: uma visão multifacetada, Porto Alegre, EDIPUCRS, 2001, páginas 129 a 165.
[Simis] Simis, A., Gênese e História: lugar nos corações matemáticos? Universidade Estadual de Feira de Santana, Folhetim de Educação Matemática, Número Especial, 2003. Republicado no Hipertexto Pitágoras.
[Toeplitz] Toeplitz, O., The Calculus, a Genetic Approach. Chicago, The University Press, 1963.

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Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.