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Questões Respondidas de Aritmética Elementar

Pergunta do correspondente1000, em 20/09/2002:
Caros amigos, não consigo resolver o problema abaixo de uma forma lógica, porém, através de algumas conclusões, consegui chegar a uma resposta, aí vai:

Observem a multiplicação abaixo. Cada letra representa um algarismo diferente. Descubram o valor de cada letra e depois calculem a+b+c+d+e.

4(abcde)10 = (edcba)10

Alternativas:
a) 23
b) 25
c) 26
d) 27

Cheguei à conclusão que a resposta correta é a alternativa d), pois 4×21978 = 87912.

Antecipadamente agradeço.

Resposta de Roberto Ribeiro Paterlini:
Pode-se verificar de uma forma lógica que, descartando a resposta trivial (abcde)10 = 0, a solução apresentada pelo "correspondente1000" é a única possível, mesmo desconsiderando a hipótese de serem diferentes os dígitos a, b, c, d, e.

Começaremos constatando três fatos:

Fato 1 A conta 4×(abcde)10 deve resultar em um número com cinco casas, ou menos. Como 4×25000 = 100000 é o menor número com seis casas, devemos ter (abcde)10 < 25000. Em particular (ab)10 < 25.

Fato 2 (edcba)10 é um número divisível por 4. De acordo com o conhecido critério de divisibilidade por 4, (ba)10 deve ser um múltiplo de 4. Assim sendo temos as seguintes possibilidades para (ba)10:

00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96.

Lembrando que (ab)10 < 25 eliminamos dessa lista a maioria dos casos, restando as seguintes possibilidades para (ab)10:

(ab)10 = 00, 02, 04, 06, 08, 21, 23. (*)

Fato 3 Observemos como são os produtos de 4 por um algarismo decimal:

4× 0 = 04× 5 = 20
4× 1 = 44× 6 = 24
4× 2 = 84× 7 = 28
4× 3 = 124× 8 = 32
4× 4 = 164× 9 = 36

Assim, ao multiplicar 4 por um algarismo decimal x obtemos um número (yz)10 com y = 0, 1, 2 ou 3, e temos (yz)10 < ou = 36. Se x for o dígito de um número e estiver na segunda casa ou em casa superior, o valor (yz)10 pode receber uma quantidade adicional de valor no máximo 3, vinda da multiplicação de 4 pelo dígito da casa anterior. Assim o maior valor que se obtém é 39.

Tendo esses três fatos em mente observemos a disposição

abcde
× 4 (**)
--------------------
edcba

Em particular se a = 0 temos

0 b c d e
× 4 (***)
--------------------
e d c b 0

Examinando a última coluna de (***) vemos que e = 0 ou = 5. Examinando a primeira coluna de (***) vemos que e é no máximo 3, o que implica e = 0. Portanto, se a = 0, (**) tem a forma

0 b c d 0
× 4 (***)
--------------------
0 d c b 0

Em (***) a conta 4×b resulta (0d)10, portanto b = 0, 1 ou 2. Mas (ab)10 = 01 não consta da lista (*). Assim b = 0 ou 2. Em particular ficam eliminados os casos (ab)10 = 04, 06 e 08 da lista (*).

Vamos examinar o caso (ab)10 = 00. Temos

0 0 c d 0
× 4
--------------------
0 d c 0 0

Repetindo o raciocínio acima (em que concluímos que e=0) vemos que d = 0. Notemos que c=0 é o único algarismo tal que 4×c=c. Assim sendo (ab)10=00 implica a solução trivial (abcde)10=0.

Vamos examinar o caso (ab)10 = 02. Temos

0 2 c d 0
× 4
--------------------
0 d c 2 0

Como 4×d deve resultar (x2)10 então d=3 ou d=8. Como 4×2=8 e a este valor só pode ser somado 0 ou 1, vemos que d=3 não dá certo. Assim d=8. Mas então 4×c+3=c, o que não é possível. Com isso descartamos (ab)10 = 02.

Portanto da lista (*) acima restaram apenas os casos (ab)10 = 21 e 23.

Vamos examinar primeiro o caso (ab)10 = 23. Temos

2 3 c d e
× 4
--------------------
e d c 3 2

Como 4×e deve resultar (x2)10 então e=3 ou e=8. Por outro lado a última multiplicação é 4×2=8, e a este valor vai ser somado 1, vindo de 4×3, de que temos e=9. Isto é uma contradição, e este caso não ocorre.

Quanto ao caso (ab)10 = 21 cumpre-nos verificar que ele conduz unicamente a (abcde)10=21978. Examinemos

2 1 c d e
× 4
--------------------
e d c 1 2

A última multiplicação é 4×2=8, e a este valor nada vai ser somado. Portanto e=8 e ficamos com

2 1 c d 8
× 4
--------------------
8 d c 1 2

Como 4×d+3 deve resultar (x1)10 então d=2 ou d=7. Por outro lado a penúltima multiplicação é 4×1=4, e a este valor vai ser somado 0, 1, 2 ou 3, vindo de 4×c. Necessariamente se tem d=7.

2 1 c 7 8
× 4
--------------------
8 7 c 1 2
Agora a única solução possível é c=9, conforme queríamos.
Observações adicionais.

O problema acima pode ser estudado através das técnicas das equações diofantinas. A equação

4(abcde)10 = (edcba)10

pode ser reescrita como

4(a104+b103+c102+d10+e) = e104+d103+c102+b10+a,

ou, simplificando,

13333a+1330b+100c-320d-3332e=0. (I)

Resolvendo essa equação, a princípio supondo que a, b, c, d, e são números inteiros quaisquer, obtem-se

a=2i;
b=2g+i+6h
c=-180i-17g+90h+16f
d=5f+3g+h
e=5h+3i, 		(II)
onde f, g, h e i são parâmetros. Tomando valores inteiros para f, g, h e i obtemos todas as soluções de (I). As soluções que nos interessam são aquelas para as quais a, b, c, d e e são algarismos decimais. Por exemplo f=3, g=-3, h=1 e i=1 produzem a=2, b=1, c=9, d=7 e e=8, que é a solução apresentada pelo "correspondente1000".

Usando essas relações e os fatos 1 e 2 acima pode-se verificar que, descartando a resposta trivial (abcde)10 = 0, a solução apresentada pelo "correspondente1000" é a única possível, mesmo desconsiderando a hipótese de serem diferentes os dígitos a, b, c, d, e.


Preparado por Roberto R. Paterlini em 31/10/2002.
Publicado em 22/01/2003. Atualizado em 22/01/2003.