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Questões Respondidas em Teoria dos Números

Pergunta de estudante do Curso de Física da UFSCar:
Se $p$ é um número de Mersenne primo, então $M_p=2^p-1$ é também um número de Mersenne primo?

Resposta do Prof. Roberto Ribeiro Paterlini, do DM-UFSCar:

Os números $M_p=2^p-1$, $p$ primo, são chamados números de Mersenne, em homenagem ao frade e matemático Marin Mersenne (1588-1648), amigo de Descartes e Fermat, assim como de muitos outros matemáticos, com os quais manteve extensa correspondência sobre Matemática (confira [1], página 245).

Os números $M_p=2^p-1$, $p$ primo, podem ou não serem primos. Por exemplo, $M^2-1=3$ é primo, e $M^{11}-1=2047=23\times 89$ não é primo.

Em [2], pág. 73, vemos que não é verdade que se $M_q$ é um número de Mersenne primo, então $M_{M_q}$ é também um número de Mersenne primo. Wheeler deu o seguinte contra-exemplo: $M_{13}=8191$ é primo mas $M_{8191}$ é composto. Este exemplo é de antes de 1954. $M_{8191}$ tem 2466 algarismos, e na época não se conhecia nenhum fator. Em 1976 Keller descobriu um fator primo de $M_{8191}$:

\begin{displaymath}2\times 20644229\times M_{13}+1=338193759479.\end{displaymath}

A pergunta do estudante tem conexão com as seguintes conjecturas sobre os primos de Mersenne (confira [2] páginas 73 e 74):

Conjectura 1. Existe uma infinidade de números de Mersenne primos?

Conjectura 2. (Catalan, 1876) Considere a seguinte seqüência:

\begin{displaymath}\cases{C_1=M_2,&$\>$\cr C_n=M_{C_{n-1}},&$n\ge 2.$\cr}\end{displaymath}

Todos os números $C_n$ são primos?

Se a pergunta o estudante fosse verdadeira então seria uma demonstração da veracidade da Conjectura 1. Muitos especialistas julgam ser verdadeira a Conjectura 1.

Sobre a Conjectura 2, observe que $C_1=M_2$, $C_2=M_3$, $C_3=M_7$, $C_4=M_{127}$, e $C_5=M_{2^{127}-1}$. Notamos que $2^{127}-1$ tem 39 algarismos. Desta forma o contra-exemplo $M_{8191}$ dado acima não é um número dessa seqüência. Observamos ainda que $C_5$ tem mais de $10^{37}$ algarismos, e ainda não foi possível testar sua primaridade (confira [2], pág. 74). Se a Conjectura 2 for verdadeira então a Conjectura 1 também o é.

Referências.

[1] Boyer, C. B., História da Matemática. São Paulo, Editora Edgad Blücher LTDA, 1996.
[2] Ribenboim, P., Números Primos: Mistérios e Recordes. Coleção Matemática Universitária, Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2001.

Informações adicionais na Internet

The Great Internet Mersenne Prime Search. 





Preparado por Roberto R. Paterlini em 12/08/2002. 
Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira

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Publicado em 26/08/2002. Atualizado em 26/08/2002.