{VERSION 5 0 "IBM INTEL NT" "5.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "LaTeX" -1 32 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 257 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 2" -1 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 2 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 3" -1 5 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Ti mes" 1 12 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Maple Plot" -1 13 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Title" -1 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 12 12 1 0 1 0 2 2 19 1 }{PSTYLE "Author" -1 19 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Tim es" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 8 8 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Heading 1" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Movimentos no plano e o peradores lineares" }}{PARA 19 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Yolanda K S Furuya " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 391 "No p lano e no espa\347o, parte dos movimentos pode ser descrita como um tr ansforma\347\343o linear do plano no plano ( ou do espa\347o no espa \347o), tamb\351m chamdo operador linear do plano (ou do espa\347o). N a verdade, todo movimento r\355gido se escreve como composi\347\343o d e transla\347\365es com transforma\347\365es lineares. Al\351m disso, \+ utilizando coordenadas homog\352neas, at\351 as transla\347\365es vira m transforma\347\365es lineares." }{TEXT 32 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "with(linalg ): #carregando o pacote de Algebra Linear" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 53 "with(plots): #carregando um pacote basico de grafic os" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 95 "figura[0] := [[0,0],[ 1,0],[1,2]]: # vertices de um triangulo para serem aplicados os movime ntos" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 89 "plotfigura[0] := po lygonplot( figura[0], color=yellow): # plot da figura acima, original. " }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Movimentos r\355gidos do pla no " }{TEXT 257 28 "(sem coordenadas homog\352neas)" }}{PARA 4 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 32 "1. Transla\347 \343o segundo um vetor v" }}{EXCHG {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 " Fixado o vetor v, a transla\347\343 o segundo v associa a cada ponto P o ponto P+v" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 " P -> P+v" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 " \+ Se v \351 n\343o nulo, a tranla\347\343o n\343o \351 linear, pois O \+ vai em O+v = v" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "tau := (v ,P) -> convert(evalm(P+v),list); " }{TEXT -1 35 "fun\347\343o que a ca da v e P associa P+v" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "tau ([3,2],[1,0]); " }{TEXT -1 59 "exemplo: aplicando a transla\347\343o d e v=[3,2] no ponto P=[1,0]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "map2(tau,[3,3],figura[0]); " }{TEXT -1 73 "aplicando a transla\347 \343o de v=[3,3] sobre os pontos de figura[0] dado acima" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "polygonplot([figura[0], map2(tau,[3 ,2],figura[0])], color=yellow); " }{TEXT -1 66 "desenhando a figura[0] e o seu transladado segundo o vetor v=[3,2]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "plotfigura[0] := polygonplot(figura[0], color=ye llow): " }{TEXT -1 51 "armazenando o desenho de figura[0] em plotfigur a[0]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "plotfigura[1] := po lygonplot(map2(tau,[3,2],figura[0]), color=green):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "display([plotfigura[0],plotfigura[1]], scal ing=constrained); " }{TEXT -1 40 "exibindo as duas figuras simultaneam ente" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "for i from 1 to 10 \+ do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 85 " plotfigura[i] := polygonpl ot(map2(tau, evalm(i/10*[3,2]),figura[0]), color=green):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 " od: " }{TEXT -1 58 "criando uma sequ\352nci a de quadros da anima\347\343o da transla\347\343o" }}}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 80 "display( [seq( plotfigura[i], i=0..10)], insequenc e=true, scaling=constrained); " }{TEXT -1 19 "exibindo a anima\347\343 o" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 29 "2. Rota\347\343o em torno da origem" }}{PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 318 " A rota\347\343o de angulo t em torno da origem associa a cada P=(x,y)=(r cos s, r sen s) o ponto Q = (r cos(s+t), r sen(s+t))=(x cost - y sen t, x sen t + y c os t), o que pode ser obtido matricialmente com multiplica\347\343o po r matriz. A rota\347\343o em torno da origem \351 portanto uma transf orma\347\343o linear, com matriz dada por:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 43 "matrix(2,2,[cos(t),-sin(t),sin(t),cos(t)]);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 89 "Rot := (t,P) -> convert( eva lm( matrix(2,2,[cos(t),-sin(t),sin(t),cos(t)]) &* P), list); " }{TEXT -1 75 "fun\347\343o que a cada rotaciona P de \342ngulo t em torno de \+ O, com entradas t e P" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "Ro t( Pi/3, [1,0]); Rot(Pi/3, [0,1]); " }{TEXT -1 44 "aplicando a rota \347\343o nos pontos [1,0] e [0,1]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "map2( Rot, Pi/3, figura[0]); " }{TEXT -1 58 "aplicand o a rota\347\343o de \342ngulo Pi/3 nos pontos de figura[0]" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "plotfigura[1] := polygonplot ( map2( Rot, Pi/3, figura[0]), color=green): " }{TEXT -1 46 "armazenan do o desenho do resultado da rota\347\343o." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "display([plotfigura[0],plotfigura[1]], scaling=con strained); " }{TEXT -1 37 "exibindo a figura original e a rodada" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "for i from 1 to 30 do " }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 103 " plotfigura[i] := polygonplot( ma p2( Rot, (i/30)*(2*Pi),figura[0]), color=green, scaling=constrained): " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od: " }{TEXT -1 66 "fabricando 30 quadros da anima\347\343o da rota\347\343o de uma volta completa" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "display( [seq( plotfigura [i], i=0..30)], insequence=true, scaling=constrained);" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 13 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 45 "3. Refle x\343o em rela\347\343o a uma reta pela origem" }}{EXCHG {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 258 25 "3 .1 Em rela\347\343o ao eixo Ox" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 103 " \+ Esta reflex\343o leva P=(x,y) em Q=(x,-y) e portanto \351 uma tr ansforma\347\343o linear cuja matriz \351 " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 23 "matrix(2,2,[1,0,0,-1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 60 "Rx := P -> convert(evalm(matrix(2,2,[1,0,0,-1])&*P) , list); " }{TEXT -1 42 "fun\347\343o que reflete P em rela\347\343o a o eixo Ox" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "Rx([x,y]); Rx( [1,2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "plotfigura[1] := polygonplot( map( Rx, figura[0]), color=green):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "display([plotfigura[0],plotfigura[1]], scaling=constr ained);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "figura[20] := ma p(Rx,figura[0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "for i f rom 1 to 20 do " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 100 " plotfigura[i] \+ := display(\{polygonplot(evalm(figura[0]+i/20*(figura[20]-figura[0])), color=green)\}):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "display( [seq( plotfigura[i] , i=0..20)], insequence=true, scaling=constrained);" }}}{EXCHG {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 87 "3.2 Reflex\343o em rela\347\343o a uma reta que passa pela origem e tem dire\347\343o do vetor v=[a,b]" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 139 " Este movimento \351 uma composi\347\343o de \+ uma rota\347\343o Rot(-t) com a reflex\343o Rx seguida da rota\347 \343o Rot(t), onde t \351 o angulo entre Ox e v." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 " (a matriz de Rot(t) \351 a mesma matriz que apa rece se utilizasse mudan\347a de base.)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 151 " Sendo dado v=[a,b], \351 facil obter a matriz de Rot(t). que \351 uma matriz ortogonal cuja primeira coluna \351 o versor de v. Su a inversa \351 a transposta." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 " " }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "v :=[1,2]: v1 := evalm(v/nor m(v,2)): # v1 \351 o versor de v" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "versor := v -> evalm(v/ norm(v,2)); " }{TEXT -1 13 "f un\347\343o versor" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "verso r(v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "ortver := v -> eva lm([ -v[2],v[1]]/norm(v,2)); " }{TEXT -1 67 "fun\347\343o que a cada v associa um vetor unit\341rio normal ao seu versor." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "ortver(v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "Rotv := v -> concat(versor(v),ortver(v)); " }{TEXT -1 68 "fun\347\343o que a cada v associa a matriz da rota\347\343o que leva [1,0] em v1" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "Rotv(v) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 76 "MRefl :=v-> evalm(Rotv (v) &* matrix(2,2,[1,0,0,-1]) &* transpose(Rotv(v))); " }{TEXT -1 73 " a fun\347\343o MRefl associa a cada v a matriz da reflex\343o segundo a reta dada" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "MRefl([a,b] );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "Refl := (v,P) -> conv ert(evalm(MRefl(v) &* P), list);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "map2( Refl, [1,2], figura[0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 95 "plotreta:=plot( [[-v1[1],-v1[2]], [v1[1],v1[2] ]], color=red, thickness=2, scaling=constrained):" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "plotfigura[1] := polygonplot( map2( Refl,[1, 2], figura[0]), color=green):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "di splay([plotfigura[0],plotfigura[1],plotreta], scaling=constrained);" } }{PARA 13 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "figura[20]:= map2(Refl,v,fig ura[0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "polygonplot(eva lm(figura[0]+1/3*(figura[20]-figura[0])));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 21 "for i from 1 to 20 do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 108 " plotfigura[i]:=display(\{plotreta,polygonplot(eval m(figura[0]+i/20*(figura[20]-figura[0])), color=green)\}):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "display( [seq( plotfigura[i], i=0..20)], scaling=constrained) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "display( [seq( plotfig ura[i], i=0..20)], insequence=true, scaling=constrained);" }}}{EXCHG {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 81 "3.3. Reflex\343o em rela\347\343o a uma r eta pela origem dada pela equa\347\343o geral: ax+by =0" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 " Neste caso, conhece-se o vetor normal u = [a ,b] da reta." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 388 " Ent\343o a refle x\343o pode ser mais facilmente obtida lembrando que ela leva um ponto P em Q = P - 2 Proj(OP,u), onde Proj(OP,u) \351 a proje\347\343o ort ogonal do vetor OP sobre o vetor normal u. Temos tamb\351m de Geometri a Analitica, que Proj(OP,u) = / u. O produto \351 o p roduto escalar entre os vetores u e v, tamb\351m conhecido como produt o interno de u e v, em Algebra Linear." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "u := [-2,1]: u1 := evalm(u/norm(u,2)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 75 "plotreta := plot([[u1[2],-u1[1]], [ -u1[2],u1[1]]], color=red, thickness=2):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "Proj := (v,u)-> evalm(dotprod(v,u)/dotprod(u,u)*u); \+ " }{TEXT -1 43 "fun\347\343o que projeta ortogonalmente v sobre u" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "Proj([x,y],u);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "Refl2 := (u,P) -> convert(evalm(P-2 *Proj(P,u)),list); " }{TEXT -1 88 "fun\347\343o que a cada P associa o seu refletido em rela\347\343o \340 reta normal a u passando por O." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "map2(Refl2,[-2,1],figura[ 0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "plotfigura[1] := po lygonplot( map2( Refl2,u, figura[0]), color=green):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "display([plotfigura[0],plotfigura[1],plotreta], sc aling=constrained);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "figura[20]:= map2(Refl2,u,figura[0] );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "for i from 0 to 20 do " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 108 " plotfigura[i]:=display(\{plo treta,polygonplot(evalm(figura[0]+i/20*(figura[20]-figura[0])), color= green)\}):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "display( [seq( plotfigura[i], i=0.. 20)], scaling=constrained);" }}}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "di splay( [seq( plotfigura[i], i=0..20)], insequence=true, scaling=constr ained);" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 48 "4. Rota\347\343o em t orno de um ponto C fora da origem" }}{PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 136 "Sendo C=(c1, c2) o ponto fora da \+ origem, a rota\347\343o de angulo t em torno de C pode ser escrita com o composi\347\343o de 3 movimentos, na ordem:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 " 1. tau(-OC): Transla\347\343o de -OC=(-c1,-c2) que le va C na origem" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 " 2. Rot(t): Rota\347 \343o de angulo t em torno da origem" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 " \+ 3. tau(OC): Transla\347\343o de OC=(c1,c2) que leva origem em C" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "Ou seja, um ponto P \351 levado em P1 = P -OC=tau(-OC,P), que \351 levado em Rot(t,P1)=P2, que finalmente \+ \351 levado em Q=tau(OC,P2)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Logo, Q = tau(OC, Rot(t, tau(-OC,P)))." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "C := [2,1]:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "RotC := (t,P) -> tau([C[1], \+ C[2]], Rot(t, tau([-C[1],-C[2]], P)));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "centro:=pointplot(C, color=red):" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "figura[1] := map2(RotC,Pi/3, figura[0]);" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "plotfigura[0] := polygonplo t( figura[0], color=yellow):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "plotfigura[1]:=polygonplot(figura[1], color=green):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "display(\{plotfigura[0], plotfigura [1], centro\}, scaling=constrained);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "for i from 0 to 30 do " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 144 " poligono := polygonplot( map2( RotC, (i/30)*(2*Pi),figura[0 ]), color=green, scaling=constrained): plotfigura[i] := display(\{poli gono,centro\}):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "display( [seq( plotfigura[i], i=0.. 30)], insequence=true, scaling=constrained);" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 51 "5. Reflex\343o em rela\347\343o a uma reta qualquer \+ do plano" }}{EXCHG {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 " Tamb\351m neste caso, obtemos o movimento como comp osi\347\343o de 3 movimentos:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 135 " \+ 1. Translac\343o que leva a reta para uma reta passando pela origem (b asta escolher um ponto A da reta e fazer a tranla\347\343o por -OA)" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 " 2. Reflex\343o segundo a reta pel a origem obtida em 1." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 " 3. Transl a\347\343o por OA" }}{PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 99 " 5.1. Se a reta passa pelos pontos A e B e portanto tenho um ponto A e um vetor v=AB \+ da reta, " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 167 " um ponto P \+ \351 levado em Q = tau(OA, Refl( v, tau( -OA, P))), onde Refl( v, P) r epresenta o refletido de P em rela\347\343o \340 reta pela origem com \+ dire\347\343o de v." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "A := [1,0]: B:= [0,1]:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "v := \+ evalm(B-A);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "Refl3 := P - > tau( A, Refl(v, tau([-A[1],-A[2]], P)));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 15 "Refl3( [x,y]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "map(Refl3,figura[0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "Reflpol := proc(A,B,pol)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 " local v, refl:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " v := evalm(B-A):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 " refl := P -> tau( A, Refl(v, tau([-A[1],-A [2]], P))):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 " map(refl, po l): end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "Reflpol([2,1],[0,1],figura[0 ]); # exemplo" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "plotfigura [0] := polygonplot(figura[0], color=yellow):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "reta := plot([A,B], thickness=2, color=red):" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "plotfigura[20] := polygonpl ot(Reflpol(A,B,figura[0]), color=green):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "display(\{plotfigura[0], plotfigura[20], reta\}, scal ing=constrained);" }}}{EXCHG {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 39 "5.2 Reflex \343o segundo reta ax + by +c =0" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 210 " \+ Encontrando um ponto A da reta, sua normal sendo u=[a,b], leva o pon to P em Q = tau(OA, Refl2(u, tau(-OA, P))), onde Refl2(u, P) represent a o refletido de P em rela\347\343o \340 reta pela origem que tem norm al u." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "A := [0,1]: u:= [1,1]:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "Reflpol2 := proc(A,u,pol)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 " local v, refl:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " v := evalm(B-A):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 65 " refl := P -> tau( A, Refl2(u, tau([-A[1],- A[2]], P))):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 " map(refl, p ol): end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "Reflpol2( [2,1],[0,1],figura[0]); # exemplo" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 98 "reta := implicitplot(u[1]*x+u[2]*y-u[1]*A[1]-u[2]*A[2 ]=0, x=0..4, y=0..4, thickness=3, color=red):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "plotfigura[20] := polygonplot(Reflpol2(A,u,figur a[0]), color=green):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "dis play(\{plotfigura[0], plotfigura[20], reta\}, scaling=constrained);" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 63 "Movimentos r\355gidos do plano, com uso d e coordenadas homog\352neas." }}{EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 74 " Vamos considerar o plano Oxy mergulhado no espa\347o Oxyz: (x,y) -> \+ (x,y,1)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 135 "Dizemos que estamos utilizand o coordenadas homog\352neas, melhor representado por (x : y :1) devido \340 identifica\347\343o que fazemos do espa\347o " }{XPPEDIT 18 0 "R ^3;" "6#*$)%\"RG\"\"$\"\"\"" }{TEXT -1 23 " com o plano projetivo " } {XPPEDIT 18 0 "RP^2;" "6#*$)%#RPG\"\"#\"\"\"" }{TEXT -1 29 ". Veja as \+ observa\347\365es abaixo." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "restart; with(linalg): with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "figura[0] := [[0,0],[1,0],[1,2]]:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "plotfigura[0] := polygonplot(figura[0], col or=yellow):" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Observa\347\365es - o espa\347o e o plano projetivo " }{XPPEDIT 18 0 "RP^2;" "6#*$)%#RP G\"\"#\"\"\"" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 " Na verdade, o esp a\347o em quest\343o pode ser interpretado como uma representa\347\343 o do plano projetivo " }{XPPEDIT 18 0 "RP^2;" "6#*$)%#RPG\"\"#\"\"\"" }{TEXT -1 67 ", onde toda reta passando pela origem representa um \372 nico ponto de " }{XPPEDIT 18 0 "RP^2;" "6#*$)%#RPG\"\"#\"\"\"" }{TEXT -1 22 " . Ou seja, cada reta " }{XPPEDIT 18 0 "r;" "6#%\"rG" }{TEXT -1 2 ": " }{XPPEDIT 18 0 "(x, y, z) = lambda(a,b,c);" "6#/6%%\"xG%\"yG %\"zG-%'lambdaG6%%\"aG%\"bG%\"cG" }{TEXT -1 41 " representa um \372nic o ponto (a : b: c) em " }{XPPEDIT 18 0 "RP^2;" "6#*$)%#RPG\"\"#\"\"\" " }{TEXT -1 156 ". Cada ponto do plano z=1 correspondente ao nosso pla no mergulhado corresponde a uma reta do espa\347o passando pela origem que n\343o est\341 no plano z=0 [pontos (" }{XPPEDIT 18 0 "a/c;" "6#* &%\"aG\"\"\"%\"cG!\"\"" }{TEXT -1 3 " : " }{XPPEDIT 18 0 "b/c;" "6#*&% \"bG\"\"\"%\"cG!\"\"" }{TEXT -1 97 " : 1)]. As retas pela origem conti das no plano z=0 do espa\347o representam \"pontos no infinito\" de " }{XPPEDIT 18 0 "RP^2;" "6#*$)%#RPG\"\"#\"\"\"" }{TEXT -1 36 " [pontos \+ (a : b: 0) que pertencem a " }{XPPEDIT 18 0 "RP^2;" "6#*$)%#RPG\"\"#\" \"\"" }{TEXT -1 2 "]." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 373 "Este plano proj etivo possui uma geometria diferente da euclidiana, pois n\343o existe m retas paralelas. Todo par de retas distintas s\343o concorrentes. As retas paralelas do plano euclidiano correspondem a retas que se encon tram no \"infinito\". E tamb\351m n\343o vale a no\347\343o de \"um po nto est\341 entre os outros dois\" pois toda reta \351 no fundo uma cu rva fechada como uma circunfer\352ncia." }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 55 "6. Transla\347\365es no plano e operadores lineares do es pa\347o" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 " Dada uma transla\347 \343o do plano segundo o vetor v=[a,b], o operador linear do espa\347o dada pela matriz" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "MT := v -> matrix(3,3, [1,0,v[1], 0,1,v[2],0,0,1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "MT([a,b]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "evalm(MT([a,b])&* [x,y,1]); " }{TEXT -1 62 "No plano \+ z=1, o efeito \351 a transla\347\343o segundo o vetor v=[a,b]:" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Assim, podemos construir a aplica \347\343o transla\347\343o do plano:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "tau2 := proc(v,P)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 " local P1, Q1, MT1, Q;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " P1 := [P[1],P[2],1]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 " \+ MT1 := matrix(3,3, [1,0,v[1], 0,1,v[2],0,0,1]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 " Q1 := evalm(MT1&*P1):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 " Q :=[Q1[1],Q1[2]]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 " return(Q):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "tau 2([a,b],[x,y]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "tau3 := \+ proc(v,P1)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 " local Q1, MT1 ;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 " MT1 := matrix(3,3, [1, 0,v[1], 0,1,v[2],0,0,1]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 " \+ Q1 := convert(evalm(MT1&*P1),list):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 " return(Q1):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 " \+ end proc: " }{TEXT -1 75 "Mantendo o formato de 3 coordenadas, para \+ composi\347\343o com outros movimentos." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "tau3([a,b], [x,y,1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "figura1[0] := map( proc(P) [P[1],P[2],1]; end proc, f igura[0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "plotfigura1[0 ]:= polygonplot3d(figura1[0], color=yellow):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "plotfigura[20] := polygonplot(map2(tau2,[1,1],fi gura[0]),color=green):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 74 "p lotfigura1[20] := polygonplot3d(map2(tau3,[1,1],figura1[0]),color=gree n):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "display(\{plotfigura [0], plotfigura[20]\}, scaling=constrained);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 86 "display(\{plotfigura1[0], plotfigura1[20]\}, sca ling=constrained, axes=boxed,view=0..1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 55 "7. Rota\347 \365es no plano e os operadores lineares do espa\347o" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "As rota\347\365es no plano em torno da origem j\341 s \343o operadores lineares no plano." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "M as ele pode ser estendido a um operador linear do espa\347o que efetua a rota\347\343o desejada no plano z=1." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 150 "Assim, compondo com transla\347\365es, pode-se obter tamb\351m as rota\347\365es do plano em torno de pontos fora da origem utilizando \+ operadores lineares no espa\347o." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 89 "MRo := theta -> matrix(3,3, [cos(theta), -sin(theta), 0, sin(theta), cos(theta),0,0,0,1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "MRo(Pi/3);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "evalm(MRo(theta)&*[x,y,1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "Ro2 := proc(t,P)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 " \+ local P1, M1, Q1,Q;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " P1 := [P[1],P[2],1]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 " M1 := mat rix(3,3, [cos(t), -sin(t),0, sin(t), cos(t),0,0,0,1]):" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 " Q1 := evalm(M1 &* P1):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " Q := [Q1[1], Q1[2]]:" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 17 " return(Q):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "R o2(Pi/3,[x,y]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "figura[2 0]:=map2(Ro2, Pi/3, figura[0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "Ro3 := proc(t,P1)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 " \+ local M1,Q1;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 " M1 := matri x(3,3, [cos(t), -sin(t),0, sin(t), cos(t),0,0,0,1]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 " Q1 := convert(evalm(M1 &* P1),list):" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 " return(Q1):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "Ro3(Pi/3, [x,y,1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "figura1[20]:=map2(Ro3,Pi/3,figura1[0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "plotfigura1[0]:= polygonplot3d(figu ra1[0], color=yellow):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "p lotfigura[20] := polygonplot(figura[20],color=green):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "plotfigura1[20] := polygonplot3d(fi gura1[20],color=green):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 " display(\{plotfigura[0], plotfigura[20]\}, scaling=constrained);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "display(\{plotfigura1[0], pl otfigura1[20]\}, scaling=constrained, axes=boxed, view=0..1);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "C :=[3,2]: " }{TEXT -1 38 "c entro de rota\347\343o dada de forma global" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "RoC3 := proc(tC,P1)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " local t,C,M1,MT1,Q1;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 " t := tC[1]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 " C \+ := tC[2]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 " M1 := matrix(3, 3, [cos(t), -sin(t),0, sin(t), cos(t),0,0,0,1]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 " MT1 := v -> matrix(3,3,[1,0,v[1],0,1,v[2],0,0, 1]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 " Q1 := convert(evalm( MT1(C) &* M1 &* MT1(-C)&* P1),list): " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 " return(Q1):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "map 2(RoC3,[theta,C],figura1[0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "RoC2 :=proc(tC,P)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 " l ocal P1, Q1, Q;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 " P1 := [op (P),1]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 " Q1 := RoC3(tC,P1) :" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 " Q := [Q1[1],Q1[2]]:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 " return(Q):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 " end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "map2(RoC2,[theta,C],figura[0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "animaRoC2 := proc(C,tmax,pol, N, cor)" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 " local C1, fig0, i, t, \+ fig1, quadro;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 " fig0 \+ := pointplot(C,color=red):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 " \+ for i from 0 to N do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 " \+ t := (i/N)*tmax:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 " \+ fig1:=polygonplot(map2(RoC2,[t,C],pol),color=cor):" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 " quadro[i]:=display (\{fig0,fig1\}):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 " \+ od:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 84 " display([seq( quadro[i],i=0..N)], insequence=true, scaling=constrained);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 " end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "animaRoC2([3,1],2*Pi,figura[0],20,green);" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "animaRoC3 := proc(C,tmax,p ol1, N, cor)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 " local \+ C1, fig0, i, t, fig1, quadro;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 " \+ fig0 := pointplot3d([op(C),1],color=red):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 " for i from 0 to N do" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 " t := (i/N)*tmax:" }}{PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 92 " fig1:=polygonplot3d(map2(Ro C3,[t,C],pol1),color=cor, axes=boxed,view=0..1):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 " quadro[i]:=display(\{fig0,fig1\}):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 " od:" }}{PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 84 " display([seq(quadro[i],i=0..N)] , insequence=true, scaling=constrained);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 " end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "animaRoC3([3,1],2*Pi,figura1[0],20,green);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 56 "8. Reflex \365es no plano e os operadores lineares do espa\347o" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 213 " Analogamente com o caso das rota\347\365es, pode mos obter tanto as reflex\365es segundo retas pela origem (que j\341 s \343o lineares no plano) quanto as reflex\365es segundo retas fora da \+ origem, usando coordenadas homog\352neas." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 " Vamos tratar aqui somente de reflex\365es segundo retas dadas po r dois pontos A e B." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "Re2 := proc(AB,P)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 " local A1, B1, P1, Q1, Q, v, v1, M1, T1, R1;" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 " A1 := AB[1]: B1 := AB[2]: P 1 := [P[1],P[2],1]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 " v := \+ evalm(AB[2]-AB[1]): v1:= evalm(v/norm(v,2)):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 " T1 := (a,b) -> matrix(3,3,[1,0,a,0,1,b,0,0,1]) :" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 " M1 := v1 -> matrix(3,3, [v1[1],-v1[2],0,v1[2],v1[1],0,0,0,1]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 86 " R1 := v1 -> evalm(M1(v1)&*matrix(3,3,[1,0,0,0,-1,0,0,0, 1])&*transpose(M1(v1))):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 " \+ Q1 := evalm( T1(A1[1],A1[2])&* R1(v1) &* T1(-A1[1],-A1[2]) &*P1 ): \+ " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 " Q := [Q1[1],Q1[2]]:" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 " return(Q):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "Re2([[1,0],[0,1]],[x,y]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 47 "figura[20]:=map2(Re2,[[1,0],[0,1]], figura[0]);" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "plotfigura[20] := polygonpl ot(figura[20], color=green):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 105 "display(\{plotfigura[0], plotfigura[20], plot([[1,0],[0,1]],col or=red,thickness=3)\}, scaling=constrained);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "anima2 := proc(A,B,pol,N,cor)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 " local AB, pol1,reta, i, t, quadro;" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 " AB := [A,B]: reta:= plot( AB, color=red, thickness=3):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 " \+ pol1 := map2(Re2,AB,pol):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 " for i from 0 to N do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 " t := i/N: " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 90 " \+ quadro[i]:=display(\{polygonplot(evalm((1-t)*pol +t*pol1), color= cor), reta\}):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 " od: \+ " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 83 " display([ seq (quadro[i], i=0..N)], insequence=true, scaling=constrained);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 " end proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "anima2([1,0],[0,1],figura[0],20,green);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}} }{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Exerc\355cios" }}{PARA 4 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 140 "1. Escreva a matriz 3x 3 da transla\347\343o do plano segundo o vetor v = [a,b], em coordenad as homog\352neas. Como essa matriz \351 usada na transla\347\343o?" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 " Solu\347\343o: M = " }{XPPEDIT 18 0 " matrix([[1, 0, a], [0, 1, b], [0, 0, 1]]);" "6#-%'matrixG6#7%7%\"\"\" \"\"!%\"aG7%F)F(%\"bG7%F)F)F(" }{TEXT -1 85 ". Essa matriz \351 usada \+ do seguinte modo: para cada (x,y) do plano, \351 feita a opera\347\343 o " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[1, 0, a], [0, 1, b], [0, 0, 1]]);" "6#-%' matrixG6#7%7%\"\"\"\"\"!%\"aG7%F)F(%\"bG7%F)F)F(" }{TEXT -1 1 "x" } {XPPEDIT 18 0 "matrix([[x], [y], [1]]);" "6#-%'matrixG6#7%7#%\"xG7#%\" yG7#\"\"\"" }{TEXT -1 155 " e depois, desprezada a \372ltima coordenad a z=1 do resultado. Como a multiplica\347\343o fornece (x+a, y+b, 1), \+ a transla\347\343o assim obtida leva (x,y) em (x+a, y+b)." }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 " 2. Escreva a matr iz 3x3 da rota\347\343o de \342ngulo " }{XPPEDIT 18 0 "Pi/3;" "6#*&%#P iG\"\"\"\"\"$!\"\"" }{TEXT -1 56 " do plano em torno da origem, em coo rdenadas homog\352neas." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 " \315dem, e m torno do ponto C=[a,b]." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 114 " Obtenha , utilizando as matrizes acima, a rota\347\343o do ponto P = [10,0] em torno da origem e em torno de C=[3,2]." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 152 "3. Escreva a matriz 3x3 da relfex \343o do plano em rela\347\343o \340 reta por A = [1,0] e B = [0,-1] e obtenha o resultado da reflex\343o aplicada ao ponto P = (x,y)." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 125 "4. Quais dos movimentos r\355gidos descritos acima s\343o transforma\347\365es lineares do plano no plano (operadores lineares do plano)?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{MARK "8" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }