Axiomas de Huzita-Hatori
Assim como no caso das construções por régua e compasso, existem os problemas geométricos que podem, ou não, serem construídos com dobraduras.
Considerando somente dobraduras planas cujos vincos representam retas ou segmentos de retas, as construções geométricas que podem ser realizadas por dobraduras foram agrupadas em 7 casos, conhecidos hoje como os Axiomas de Huzita-Hatori.(Veja mais detalhes aqui.) A completude do sistema já foi demonstrada por Robert Lang, mas os axiomas não são necessariamente independentes, como mostra Hatori.
Não vamos apresentar ainda todos os axiomas, que podem ser encontradas facilmente em diversos sítios da internet, mas apenas alguns deles, cujas consequências são interessantes
do ponto de vista geométrico, como o seguinte:
Dados dois pontos P1 e P2 e uma reta r numa folha, levar P1 sobre r fixando P2 pode ser realizado por uma dobradura. (quando a geometria permite!)
O vinco da dobradura, que passa por P2 e reflete P1 sobre r, é tangente à parábola de foco P1 e diretriz r.
De fato:
Se o vinco é a mediatriz entre P1 e seu refletido P'1, todos os pontos do vinco são equidistantes dos dois pontos.
Logo, o ponto G (ou I) tal que GP'1 ⊥r também, donde G pertence à parábola de foco P1 e diretriz r, e o vinco é tangente, pela propriedade refletiva da parábola.
Consequentemente, um outro axioma de Huzita-Hatori, utilizado na trisecção do ângulo, em que dois pontos P1 e P2 de uma folha são levados simultaneamente sobre um par de retas (um ponto em cada reta) por uma dobra, leva ao problema de encontrar uma tangente comum a duas parábolas.
Um estudo algébrico desta situação leva a um resultado muito importante: as dobraduras podem solucionar problemas que envolvem equações cúbicas, ao contrário das contruções com régua e compasso.
Isto permite, por exemplo, resolver problemas como da trisecção do ângulo e duplicação do cubo, impossíveis com régua e compasso.
Yolanda K. Saito Furuya, Created with GeoGebra |