Pentágono para o dodecaedro

O dodecaedro será composto por peças construídas a partir de um retângulo especial que permite obter as faces pentagonais que se encaixam harmoniosamente.

A construção do pentágono segue os passos da construção de um copo a partir de um retângulo. O retângulo adequado é o mostrado a seguir:

Ou seja, o retângulo deve ser tal que se o lado maior for sqrt(5)+2, sua diagonal dever ser sqrt(5)+3. Ou ainda, a diagonal forma ângulo 36° com o lado maior.

Observamos que esta proporção é próxima da do papel A4, cuja diagonal forma ângulo 35,26° com o lado maior.

Veja a diferença entre a proporção A4 e o do nosso retângulo:

A4 e o nosso retângulo

O papel A4 é aquele que, dobrando ao meio pelo lado maior, obtemos duas partes com as mesmas proporções do original.

Compare!
Para pequenos dodecaedros, podemos utilizar as proporções A4.
Mas para ser mais exato, pode-se construir o retângulo do pentágono regular com origami, aproveitando a construção do segmento áureo.
A construção foi elaborada por Eduardo Cavacami.
Pode-se construir um retângulo seguindo o processo descrito no texto. Tendo o ângulo correto da diagonal, pode-se construir retângulos semelhantes de qualquer tamanho facilmente!

Construindo o copo - 1

Primeiro, dobre a diagonal AC do nosso retângulo ABCD, levando B a G.
Depois, dobre o triângulo ACD sobre AG.
Feita a dobra AK, coloque a aba para dentro.

Vire a peça, dobre a outra aba e coloque-a na parte interna.

Construindo o copo - 2

Agora dobre a bissetriz AL, levando K sobre AC, obtendo L. Desdobre.

Depois leve A até L, obtendo M e dois lados do pentágono.

Finalmente, leve C até M obtendo os outros três lados.

Está pronta a peça para uma face do dodecaedro.

Faça 12 destas peças.

Y.K.S.F., Criado com GeoGebra