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A esfera é um exemplo de variedade fechada 2-dimensional. A menos de homeomorfismo,
dentre as variedades fechadas de dimensão 2, é a única simplesmente conexa.
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O toro, o bi-toro e o tri-toro são representantes de três classes
diferentes de variedades fechadas 2-dimensionais.
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Resolver o problema da classificação das variedades fechadas
n-dimensionais seria obter um catálogo completo de tais
objetos, a menos de homeomorfismo (estamos sempre supondo variedades
conexas). Para n = 1 esse problema está resolvido, pois sabe-se
que a única variedade fechada 1-dimensional é a
circunferência S1 (uma demonstração deste
fato pode ser encontrada em [2]). As variedades fechadas
2-dimensionais também já estão classificadas,
e a quantidade das mesmas é infinita e enumerável (para maiores
detalhes a respeito da classificação das variedades fechadas
bidimensionais vide por exemplo
[6]). Por outro lado,
através de um argumento baseado na impossibilidade de se resolver o
famoso "problema das palavras", sabe-se que é impossível classificar
as variedades fechadas 4-dimensionais (vide [3], [4] e
[5]). Desta forma, a classificação das variedades fechadas
tridimensionais persiste ainda como um
grande enigma, pois além de não ser conhecida não se sabe ao menos
se a mesma é possível.
A classificação das variedades bidimensionais atrás mencionada
tem conexão íntima com um invariante algébrico muito importante,
chamado "grupo fundamental". O grupo fundamental de um espaço
topológico X é o grupo constituído pelas classes de homotopia de
laços em X com ponto base fixado (sendo que dentro de uma classe de
homotopia um laço pode ser continuamente deformado em outro laço
de tal sorte que durante a deformação o ponto base se mantém fixo),
e a operação entre dois tais objetos é dada pela
justaposição de laços. A conexão acima referida é
o fato de que duas variedades fechadas bidimensionais são homeomorfas se, e somente se,
seus grupos fundamentais forem isomorfos. Desta forma, a classe de
homeomorfismo de uma variedade bidimensional fechada é completamente
determinada pela classe de isomorfismo de seu grupo fundamental. A
esfera bidimensional S2 é uma das variedades fechadas
bidimensionais, e como todo laço em S2 pode se contrair
homotopicamente no ponto base, com este último permanecendo fixado
durante o processo de deformação, existe uma única classe de
homotopia de laços com ponto base em S2, o que significa dizer que
o grupo fundamental de S2 é o grupo nulo; em matemática, tal
fenômeno é tecnicamente expresso pela frase
"a esfera S2 é simplesmente conexa". Em outras palavras, a
única variedade fechada bidimensional simplesmente conexa é, a menos
de homeomorfismo, a esfera S2. A conjectura de Poincaré é
exatamente o análogo deste fenômeno para n = 3: a esfera
tridimensional S3 é uma variedade fechada simplesmente conexa, e a
questão por trás da famosa conjectura é saber se S3 é ou
não, a menos de homeomorfismo, a única variedade fechada
tridimensional com tal propriedade. Traduzindo de outra forma, acreditar
na validade da conjectura de Poincaré é ter a esperança de que,
à semelhança do que ocorre no mundo bidimensional com todas as
variedades fechadas, o grupo fundamental determine completamente a classe de
homeomorfismo no mundo tridimensional pelo menos no caso particular da esfera S3.
Olhando por esse prisma, outras conjecturas na mesma direção
poderiam ser formuladas; por exemplo, o produto cartesiano
S2×S1 é uma variedade fechada
tridimensional cujo grupo fundamental é
o grupo dos inteiros Z, e na mesma linha questiona-se se
S2×S1 é ou não a única
variedade fechada tridimensional com grupo fundamental isomorfo a Z.
Os invariantes algébricos conhecidos (como por exemplo homologia e
cohomologia) não são suficientemente poderosos para dar qualquer
informação sobre a conjectura de Poincaré, uma vez que, para
variedades fechadas tridimensionais, o grupo fundamental determina
completamente tais invariantes. Desta forma, na direção de se
tentar provar que a conjectura é falsa, uma alternativa seria criar um
novo invariante algébrico que primeiramente e para as variedades
fechadas tridimensionais não fosse determinado pelo grupo fundamental,
e a partir daí localizar dentro da classe especial de homeomorfismo
das variedades fechadas tridimensionais que contêm as variedades
simplesmente conexas dois elementos tais que o invariante novo acima
referido associado aos mesmos produzisse dois objetos algébricos
não isomorfos; mas isto constitui-se em tarefa extremamente difícil
e a qual certamente já foi fartamente tentada, razão pela qual ela
vale um milhão de dólares.
Cumpre observar que, para n  4,
diferentemente do que ocorre para n = 3 e n = 2, o grupo fundamental não
determina a homologia e a cohomologia da variedade. Em outras palavras, para cada
n 4 é possível
encontrar variedades fechadas n-dimensionais simplesmente
conexas mas com homologias (ou cohomologias) não isomorfas, o que
significa dizer que as variedades em questão não são
homeomorfas; desta forma, a
conjectura de Poincaré na forma em que é formulada para n = 3 não
é verdadeira para n 4.
Uma formulação adequada da
conjectura de Poincaré para n 4
deveria contemplar, portanto, a
imposição de que as homologias e cohomologias da variedade em
questão fossem iguais às da esfera, fato esse que é automático
para n = 3 ou 2. Por outro lado, em função das especificidades da
homologia da esfera, é verdadeiro o fato de que se uma variedade
fechada n-dimensional possuir homologia idêntica à da esfera,
então ela possui também cohomologia idêntica à da esfera. Desta
forma, a formulação adequada para a conjectura de Poincaré para
n 4 é a seguinte:
"Se uma variedade fechada n-dimensional com
n 4
for simplesmente conexa e possuir os mesmos grupos de Z-homologia da esfera Sn,
então ela é homeomorfa a Sn."
A conjectura acima foi provada ser verdadeira por S. Smale para
n 5
e por M. Freedman para n = 4, e tais matemáticos foram
premiados com a Medalha Fields pela obtenção de tais resultados.
Para maiores detalhes vide [7] e [1].
Referências.
[1] Freedman, M., The topology of four-dimensional
manifolds. Journal of Differential Geometry, vol 17, 1982,
pg 357-454.
[2] Lima, E. L., Classificação
de Variedades Uni-dimensionais; uma demonstração
educada. Matemática Universitária, número 3,
junho de 1986, pg 29-34.
[3] Markov, A., Insolubility of the problem of
homeomorphy. Proc. Intern. Congr. Math., 1958, pg 300-306.
[4] Markov, A., The insolubility of the problem of
homeomorphy. Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol 121, 1958, pg
218-220.
[5] Markov, A., Unsolvability of certain problems in
topology. Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol 123, 1958, pg 978-980.
[6] Massey, W. S., Algebraic Topology: An Introduction.
New York, Harcourt, 1967.
[7] Smale, S., Generalized Poincaré's conjecture in
dimensions greater than four. Annals of Mathematics, vol 74,
1961, pg 391-406.
Endereços para mais informações.
Biografias de Henri Poincaré podem ser consultadas em
The MacTutor History of
Mathematics ou na
Encyclopædia Britannica.
Página do
Clay Mathematics Institute com acesso ao artigo
The Poincaré Conjecture de John Milnor.
Confira também em nossa página
Clay Mathematics Institute
divulga prêmios para os problemas do milênio comentários
sobre a lista de problemas do CMI.
início desta página
Pedro Luiz Queiroz Pergher é
professor do DM-UFSCar. Original apresentado em TEX e parcialmente
transladado para html pelo sistema
TTH 1.57.
A foto de H. Poincaré foi adaptada de
The MacTutor History of
Mathematics. As figuras do toro, do bi-toro e do tri-toro foram desenhadas por João
Carlos Vieira Sampaio, do DM-UFSCar. A figura da esfera foi obtida com o Maple V R4.
Publicado em 25/08/2000. Atualizado em 12/05/2002.
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