e
dois números positivos quaisquer. Então existe um número inteiro positivo
tal que
.
O MÉTODO DA EXAUSTÃO E APLICAÇÕES
1. O PRINCÍPIO DE EUDOXO, ou
O MÉTODO DA EXAUSTÃO
Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan de Azevedo
Iniciamos o estudo do Método da Exaustão apresentando o Axioma de Eudoxo. Esse axioma foi enunciado explicitamente, pela primeira vez, por Arquimedes, por isso é às vezes chamado de Axioma de Arquimedes. Aqui preferimos chamá-lo de Axioma de Eudoxo, pois o próprio Arquimedes lhe dava o crédito.
Axioma de Eudoxo: Sejam
e
dois números positivos quaisquer. Então existe um número inteiro positivo
tal que
.
O Axioma de Eudoxo é utilizado na demonstração do seguinte Teorema:
Teorema 1.1 (Princípio de Eudoxo ou Método da Exaustão)
Sejam
,
,
,
,
números positivos tais que
,
,
,
e assim por diante. Seja
.
Então existe um número inteiro positivo
tal que
.
Demonstração. Em virtude do Axioma de Eudoxo existe um número
inteiro positivo
tal que
.
Temos
temos
e acabamos. Suponhamos
.
Como
temos
acabamos. Continuamos o raciocínio supondo
,
e assim por diante, até chegar a
,
ou
.
Este trabalho é uma adaptação da monografia de graduação
de Elivan de Azevedo, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar,
sob a orientação de Roberto Ribeiro Paterlini,
Departamento de Matemática da UFSCar.
Apresentado para publicação em dd/mm/aaaa.
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Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.