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O MÉTODO DA EXAUSTÃO E APLICAÇÕES

1. O PRINCÍPIO DE EUDOXO, ou
O MÉTODO DA EXAUSTÃO

Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan de Azevedo


Iniciamos o estudo do Método da Exaustão apresentando o Axioma de Eudoxo. Esse axioma foi enunciado explicitamente, pela primeira vez, por Arquimedes, por isso é às vezes chamado de Axioma de Arquimedes. Aqui preferimos chamá-lo de Axioma de Eudoxo, pois o próprio Arquimedes lhe dava o crédito.

Axioma de Eudoxo: Sejam e dois números positivos quaisquer. Então existe um número inteiro positivo tal que .

O Axioma de Eudoxo é utilizado na demonstração do seguinte Teorema:

Teorema 1.1 (Princípio de Eudoxo ou Método da Exaustão) Sejam , , , , números positivos tais que , , , e assim por diante. Seja . Então existe um número inteiro positivo tal que .

Demonstração. Em virtude do Axioma de Eudoxo existe um número inteiro positivo tal que

Vamos mostrar que . Temos

Então

Se temos e acabamos. Suponhamos . Como temos

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Se acabamos. Continuamos o raciocínio supondo , e assim por diante, até chegar a , ou .



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Este trabalho é uma adaptação da monografia de graduação de Elivan de Azevedo, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar, sob a orientação de Roberto Ribeiro Paterlini, Departamento de Matemática da UFSCar.
Apresentado para publicação em dd/mm/aaaa. Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira General License Agreement and Lack of Warranty sobre condições de uso.
Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.