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O MÉTODO DA EXAUSTÃO E APLICAÇÕES

2. A DESCOBERTA DA INCOMENSURABILIDADE

Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan de Azevedo


O Método da Exaustão permite uma elegante justificativa para o fato de que o lado de um quadrado e sua diagonal são grandezas incomensuráveis.

Dado um segmento indicaremos por seu comprimento.

Dois segmentos dizem-se comensuráveis se são múltiplos de um segmento comum. Em outros termos, sejam e dois segmentos. Se existir um segmento e se existirem inteiros positivos e tais que e , então e são múltiplos do segmento comum , e assim se dizem comensuráveis.

Confira na Figura 2.1 exemplo de segmentos comensuráveis. Temos e .

Figura 2.1

Dois segmentos se dizem incomensuráveis se não forem comensuráveis.

O conceito de comensurabilidade é correspondente ao de número racional na nomenclatura da Matemática Contemporânea. A razão entre os comprimentos de dois segmentos comensuráveis é um número racional. Por outro lado, a razão entre os comprimentos de dois segmentos incomensuráveis é um número irracional, e o conceito de incomensurabilidade é correspondente ao de número irracional.

Teorema 2.1 Em um quadrado qualquer, o lado e a diagonal são segmentos incomensuráveis.

Demonstração: Consideramos um quadrado (confira a Figura 2.2), e sejam e respectivamente seu lado e sua diagonal. Observamos a seguinte construção. Marcamos em o ponto tal que e tomamos o segmento perpendicular a com em . O é necessariamente isósceles, com . Construímos então o quadrado . Sejam e respectivamente o lado e a diagonal do novo quadrado.

Notemos que

e

Os triângulos retângulos e são congruentes, pois têm a hipotenusa em comum e . Logo .

Figura 2.2

Assim , e segue

De temos , donde .

A construção acima pode ser repetida com o quadrado , e encontramos um terceiro quadrado , com lado e diagonal , sendo

Seguindo esta idéia , encontramos um quarto quadrado, um quinto, etc., obtendo assim uma seqüência tal que .

Suponhamos, agora, que e sejam comensuráveis. Então existe um número positivo e existem números naturais e tais que e . Usando as identidades acima temos e . Assim sendo, e também são múltiplos de . E assim por diante, cada é múltiplo de . Em particular para todo .

Aplicamos agora o Método da Exaustão, segundo o qual existe um número inteiro positivo tal que . Isto é uma contradição, e concluímos que e são incomensuráveis.




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Este trabalho é uma adaptação da monografia de graduação de Elivan de Azevedo, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar, sob a orientação de Roberto Ribeiro Paterlini, Departamento de Matemática da UFSCar.
Apresentado para publicação em dd/mm/aaaa. Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira General License Agreement and Lack of Warranty sobre condições de uso.
Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.