Hipertexto Pitágoras Matemática Elementar Matemática Superior Sítios Guia Rápido Serviços Notícias Fórum Índice Página do Editor Questões Respondidas Questões não Respondidas Portfolio

O MÉTODO DA EXAUSTÃO E APLICAÇÕES

3. O APARECIMENTO DE

Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan de Azevedo


Os antigos sabiam da existência da constante como razão entre a área de um disco qualquer e o quadrado de seu raio. A princípio os matemáticos só tinham justificativas heurísticas para isso, mas com o Método da Exaustão puderam construir demonstrações.

Vamos demonstrar, usando o Método da Exaustão, que é constante a razão entre a área de um disco e o quadrado de seu raio. Começaremos com dois lemas.

Dado um polígono e uma circunferência , indicaremos por e , respectivamente, as áreas da região poligonal delimitada por e do disco delimitado por .

Lema 3.1 Sejam um polígono regular de lados inscrito (respectivamente circunscrito) em uma circunferência de raio e um polígono regular de lados inscrito (respectivamente circunscrito) em uma circunferência de raio . Então

Demonstração. Esse é um resultado da Geometria Euclidiana, que admitiremos conhecido.

Admitiremos ainda como postulado que todo disco tem área e que a área de qualquer polígono inscrito em uma circunferência é menor do que a área do disco delimitado por .

Lema 3.2 Dada uma circunferência e um número positivo , existe um polígono regular inscrito em tal que

Demonstração. Começamos com um quadrado inscrito em . Seja Dobrando o número de lados obtemos um octógono regular inscrito em C. Seja Continuando desta forma, definimos uma seqüência de polígonos regulares inscritos em :

onde tem lados, e

Queremos inicialmente mostrar que

Na Figura 3.1, é um lado do polígono .
.
Figura 3.1
Consideremos a reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto médio do segmento . Seja a interseção dessa reta com o arco . Então e são lados consecutivos de . Na reta que passa por e é paralela a tomamos os pontos e de modo que seja um retângulo. Note que é tangente a em e

Temos

em que indica a área do segmento de disco delimitado pelo arco de circunferência e pelo segmento de reta .

Daí temos

ou

Pelo Princípio de Eudoxo (Teorema 1.1) existe tal que

Daí

e tomamos .

Teorema 3.3 Se e são circunferências de raios e , respectivamente, então

Demonstração. Se e temos as possibilidades

ou

ou

Suponhamos primeiro que seja válido . Pondo temos . Seja . Notemos que .

Em virtude do Lema 3.2 acima, existe um polígono regular inscrito em , tal que

Daí

Seja um polígono regular inscrito em com o mesmo número de lados de . Temos:

e

ou . Isto leva uma contradição, portanto não vale a condição . De forma análoga se vê que não vale a condição .

Concluímos então que vale a condição

Escólio 3.4 É constante a razão entre a área de uma circunferência e o quadrado do seu raio.

Demonstração. De fato, se e são duas circunferências e se e são seus respectivos raios, então, em virtude do Teorema 3.3 acima, temos

Daí

Definição. Chamaremos de o número definido no Escólio acima, isto é, para qualquer circunferência de raio , seja:

Portanto para toda circunferência de raio , temos

Observação. Dados dois números e , a propriedade chamada tricotomia nos diz que vale uma e exclusivamente uma das seguintes condições:

Portanto, se quisermos demonstrar que vale, por exemplo, a condição , basta demonstrar que não ocorre nenhuma das condições ou . Uma forma de mostrar isso é usando contradição. Supõe-se que vale e mostra-se que isto conduz a uma contradição. O mesmo pode ser feito para .

Esse método de demonstração, muito usado pelos antigos gregos, chama-se dupla redução ao absurdo.

Referência: EDWARDS, C. H., The Historical Development of the Calculus. New York, Springer-Verlag, 1979.




Início desta página
menu principal ... anterior ... seguinte
Este trabalho é uma adaptação da monografia de graduação de Elivan de Azevedo, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar, sob a orientação de Roberto Ribeiro Paterlini, Departamento de Matemática da UFSCar.
Apresentado para publicação em dd/mm/aaaa. Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira General License Agreement and Lack of Warranty sobre condições de uso.
Publicado em 11/03/2004. Atualizado em 11/03/2004.