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SOBRE A DISTÂNCIA DE FREAGEM DE VEÍCULOS

Folha de respostas referente à folha de atividades
Sobre a distância de freagem de veículos

Roberto Ribeiro Paterlini

Um veículo em movimento, ao ser freado pelo motorista, percorre uma certa distância até parar. À distância percorrida pelo veículo nestas circunstâncias chamamos de distância de freagem. Os motoristas experientes sabem que a distância de freagem cresce muito com o aumento da velocidade. Usando certas leis da Física é possível determinar aproximadamente a distância percorrida pelo veículo até a parada.

Um guarda rodoviário utiliza a seguinte regra para determinar a distância de freagem: elevar a velocidade ao quadrado e dividir o resultado por 100. Nesta regra, a velocidade é dada em km/h e a distância, em metros.

Problema 1: Usando a regra do guarda rodoviário, calcule a distância de freagem de um carro que está a: 1o) 40 km/h; 2o) 80 km/h.

Vemos que 80 km/h é o dobro de 40 km/h. Vale o mesmo para as distâncias correspondentes?

Resposta: 1o) Elevando 40 ao quadrado temos $40^2=1600$. Dividindo o resultado por 100 temos $1600\div 100=16$. Portanto, se o carro está a 40 km/h a distância de freagem é de 16 metros. 2o) Elevando 80 ao quadrado temos $80^2=6400$. Dividindo o resultado por 100 temos $6400\div 100=64$. Portanto, se o carro está a 80 km/h a distância de freagem é de 64 metros. Vemos ainda que 80 é o dobro de 40 mas 64 é o quádruplo de 16. Isto se deve ao fato de que a relação entre a distância e a velocidade é quadrática e não linear. Assim, sob as mesmas condições, se a velocidade de um veículo for 3 vezes maior que a de outro sua distância de freagem será $3^2=9$ vezes maior.

Problema 2: Usando ainda a regra do guarda rodoviário, complete a tabela abaixo, onde $v$ é a velocidade e $d$ a distância de freagem. Plote os resultados no gráfico.

$v$ 20 40 60 80 100 120
$d$ 4          

Resposta: Completando a tabela temos:

$v$ 20 40 60 80 100 120
$d$ 4 16 36 64 100 144

Plotando estes pontos no gráfico temos:

A regra do guarda rodoviário pode ser traduzida como uma função $d(v)$ que fornece a distância em relação à velocidade. Complete a fórmula desta função.

\begin{displaymath}d(v)= \qquad\qquad\qquad \end{displaymath}

Resposta:

\begin{displaymath}d(v)= {v^2\over 100}\end{displaymath}

Problema 3: Observe a seguinte tabela de freagem de um veículo de uma certa marca, divulgada por uma revista especializada:

$v$ 40 60 80 100
$d$ 8,2 18,1 31,8 50,3

a) Aumente a tabela calculando outros valores.

$v$  20   40  60 80 100 120
$d$    8,2 18,1 31,8 50,3  

Resposta Usando os dados da tabela e supondo que a função é dada na forma $d(v)=v^2/k$ calculamos os valores de $k=v^2/d$ correspondentes a cada par $(v,d)$:

$k_1=40^2/8,2=195,12$       $k_2=60^2/18,1=198,9$

$k_3=80^2/31,8=201,26$       $k_4=100^2/50,3=198,8$

Arredondando podemos considerar $k=200$ e $d(v)=v^2/200$. Aqui temos uma regra diferente da do guarda rodoviário, pois o quadrado da velocidade é dividido por outro valor. Os diferentes valores obtidos para $k$ na tabela acima podem ser atribuídos ao fato de que em um experimento real as medições são sujeitas a erros e os eventos podem ter características ligeiramente diferentes um do outro. Em vez de arredondar o valor de $k$ poderíamos ter tomado a média aritmética dos valores $k_i$, para $1\leq i\leq 4$. Neste caso $k=198,52$. Assumindo este valor podemos aumentar a tabela, por exemplo:

$v$ 20 40 60 80 100 120
$d$ 2 8,2 18,1 31,8 50,3 72,5

b) Supondo que a função $d(v)$ neste caso obedeça a uma regra do tipo $d(v)={1\over k}v^2$, encontre um valor $k$ que corresponda aproximadamente aos dados da tabela.

Resposta Conforme já comentamos, pode ser $k=200$, valor obtido por arredondamento, ou $k=198,52$, valor obtido por média aritmética.

c) Comparando estes resultados com a regra do guarda rodoviário, você pode imaginar as razões pelas quais a regra do guarda considera distâncias duplicadas em relação a um teste profissional?

Resposta Em um teste profissional o veículo é conduzido por um motorista especializado, que tem um treinamento mais estrito e reflexos mais rápidos, necessitando de uma distância de freagem muito menor do que um motorista comum. Além disso um veículo preparado para um teste profissional deve estar em melhores condições mecânicas que um veículo normal. Assim para evitar colisões entre veículos o guarda rodoviário propõe distâncias de freagem duplicadas em relação aos testes profissionais.

Problema 4: Uma indústria montadora de automóveis está substituindo um modelo já superado por outro que incorpora inovações técnicas. O novo modelo traz um sistema de freios computadorizado que permite um freamento muito mais eficiente. Supondo que as distâncias de freagem nos dois modelos obedeçam às equações $d_1(v)={1\over k_1}v^2$ e $d_2(v)={1\over k_2}v^2$ (modelos antigo e novo, respectivamente), assinale a resposta verdadeira:

         

Resposta A resposta correta é $k_1<k_2$.

Problema 5: O gráfico abaixo fornece as distâncias de freagem de um certo veículo. Admitindo que a função $d(v)$ neste caso é do tipo $d(v)={1\over k}v^2$, encontre um valor $k$ que corresponda aproximadamente aos dados do gráfico.

Resposta Tracejando no gráfico vemos que ao valor $v=100$ corresponde $d\approx 38$. Usando a fórmula $d=v^2/k$, temos $k=v^2/d\approx 100^2/38 \approx 263,2$. Podemos ver ainda no gráfico que ao valor $v=60$ corresponde $d\approx 14$. Temos $k=v^2/d\approx 60^2/14 \approx 257,1$. Parece que $k=260$ corresponde aproximadamente aos dados do gráfico.

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Apresentado para publicação em 05/04/2002 por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar.
Preparado para publicação na Internet por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar. Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira General License Agreement and Lack of Warranty sobre condições de uso.
Publicado em 06/06/2002. Atualizado em 06/06/2002.