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a 
com velocidade constante igual a
e segue de
a
com velocidade constante
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Em geral, as velocidades acima são distintas e dependem do meio
em que a luz está se propagando. Por exemplo, quanto mais denso
o meio, mais lenta será a sua velocidade. Para fixar as idéias
podemos pensar no esquema acima que na parte superior o meio de propagação
da luz é o ar e na parte inferior a água. Como a água
é mais densa que o ar temos neste exemplo,
Se denotarmos por
o ângulo agudo que o segmento
faz com a vertical e por
o ângulo agudo que o segmento
faz com a mesma vertical, é de se esperar que
Este fato é uma conseqüência (verifique!) da lei da refração
de Snell:
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(3.1) |
Na verdade, a relação que fora descoberta empiricamente
por Snell em 1621 é que, fixados os dois meios por onde a luz se
propaga, tem-se que
é proporcional a
independentemente do ângulo de incidência do raio.
A primeira prova matemática de (3.1) foi fornecida pelo matemático francês Pierre de Fermat e é baseada no seguinte princípio que leva seu nome:
Princípio do Tempo Mínimo de Fermat A trajetória
real percorrida por um raio de luz de
a
é a que minimiza o tempo total de percurso.
Passemos à demonstração de (3.1). Lembrando que
até
é dado por
tempo
gasto de A a P
tempo
gasto de P a B
que minimize
Note que este problema é bem mais simples do que aquele discutido
nas seções anteriores. Agora, se um tal ponto
existir ele deve satisfazer
Calculando a derivada de
e achando as suas raízes, obtemos
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(3.2) |
Note que o ângulo
e, portanto,
obtemos
ou, simplesmente,
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