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Refração na Atmosfera Terrestre
Embora o princípio do tempo mínimo usado na seção
anterior venha ao encontro do problema da braquistócrona, ainda não
está claro como podemos utilizar a Lei de Snell para resolvê-lo.
A dificuldade é que no problema da braquistócrona a velocidade
com que a partícula se desloca sobre a curva varia de acordo com
a posição em que ela se encontra. Já no caso da refração
do raio de luz, a velocidade é constante em cada meio. Para transpor
esta dificuldade faremos uso da noção de limite. Como já
observamos na seção anterior, a velocidade da luz diminui
ao passar de um meio menos denso para um mais denso. Vejamos a próxima
ilustração que representa a passagem da luz através
de quatro meios distintos dispostos de maneira que as respectivas densidades
aumentem conforme descemos.
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Figura 4: 4 camadas
Aplicando a Lei de Snell a cada mudança de meio, obtemos
Fixemos os pontos
e 
e passemos a aumentar o número de camadas intermediárias
sempre obedecendo ao crescimento da densidade de cima para baixo. Observe
que as camadas vão se tornando cada vez mais finas. A figura abaixo
ilustra o processo com oito camadas.
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Figura 5: 8 camadas
No limite deste processo é de se esperar a trajetória da
luz através de um meio cuja densidade aumente continuamente à
medida que o raio de luz desça satisfaça
constante
onde 
é o ângulo que a reta tangente à trajetória
faz com a perpendicular e
é a velocidade instantânea.
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Figura 6: Tangente à curva
A atmosfera terrestre é um exemplo de um meio com densidade variável.
Devido à ação da gravidade, o ar é mais denso
quanto mais próximo da superfície terrestre ele se encontrar.
A ilustração acima nos dá uma
idéia
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de onde um objeto no espaço (o sol por exemplo) se encontra e onde
o vemos.
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os ângulos estão propositalmente exagerados. O ângulo entre a
posição real do objeto e da sua imagem é da ordem de meio grau.
Para mais detalhes veja [N].
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