 |
|
Como a partícula tem de descrever a trajetória mais rápida
e sua velocidade escalar é variável (lembre-se que
),
tudo se passa como no caso do raio de luz que atravessa um meio não-homogêneo.
Assim, pela seção anterior, devemos ter
constante |
(5.1) |
Como
e
,
combinando a identidade trigonométrica
Simplificando esta última equação, chegamos a
 |
(5.2) |
onde 
é uma constante positiva. Note a semelhança desta equação
com (2.5).
Não é nosso propósito resolver a equação acima. Indicamos aos interessados a referência [S, pag. 626,627, vol.1]. A propósito, James Bernoulli mostrou apenas que a curva que solucionaria o problema da braquistócrona deveria satisfazer a equação (5.2) cuja solução já era conhecida naquela época. A solução geral de (5.2) é dada na forma paramétrica por
é uma constante que fica determinada de modo que a curva passe pelo
ponto B (veja figura ).
A curva dada pelas equações acima representa uma ciclóide
que é a mesma curva que se obtém quando um ponto fixado de
um círculo de raio
descreve quando este círculo rola sobre uma reta.
 |
|
|
Esta curva possui várias propriedades interessantes mas nos restringiremos a uma delas:
O tempo que uma partícula inicialmente em repouso leva para percorrer um arco de ciclóide até o seu vértice mais baixo independe da sua posição inicial.
Na verdade, o problema da curva tautócrona, ou seja, de se encontrar uma curva com esta propriedade já havia sido resolvido, o que possibilitou resolver a equação do problema da braquistócrona.
|
|