Questões Respondidas de Álgebra - Matemática Elementar
Dúvida em problema de concurso :
Um estudante de Licenciatura em Matemática apresenta uma dúvida a respeito do problema
39 do concurso para a Escola de Sargentos da Aeronáutica, turma 2002. O enunciado do
problema é o seguinte:
39. Seja a função
,
definida por
.
Se
,
então a soma dos valores dos 50 menores elementos do conjunto Im(f) é
a) 1.150
b) 1.450
c) 2.150
d) 2.450
O estudante informa que o gabarito oficial da prova aponta a letra c) como a resposta
correta. O estudante observa que o problema tem diferentes soluções
dependendo de supormos se
ou não. O estudante pergunta se
inclui ou não o número zero. O estudante pergunta ainda se o fato de
ser definido através dos Axiomas de Peano não implica que
,
sem o número zero, portanto. O estudante também quer saber se caberia
recurso sobre esta questão.
Resposta dos Profs. José Ruidival Soares dos Santos Filho e Roberto Ribeiro Paterlini, DM-UFSCar
Entendemos que o símbolo
indica o conjunto dos números naturais.
Inicialmente vamos resolver o problema com as duas hipóteses possíveis, primeiro
supondo
e depois supondo
.
Em seguida faremos alguns comentários.
A função
guarda as relações
e
,
ou, equivalentemente,
.
Então
,
na verdade, é uma PA (Progressão Aritmética) de razão 2.
Podemos calcular
da seguinte forma. Fazendo
na expressão
temos
Portanto o primeiro termo da PA é
.
Para usar a notação tradicional de PA's poremos
e
,
,
sendo
a razão da PA. Da teoria das PA's sabemos que
para todo
,
portanto o termo de ordem 50 desta PA é
Conseqüentemente os 50 termos de menor valor de
são:
Para calcular sua soma podemos usar a fórmula que fornece a soma dos
primeiros termos de uma PA:
Aplicando esta fórmula em nosso caso temos
Conclusão:Vemos que, supondo
,
a resposta correta é a alternativa c).
Agora o primeiro termo da PA é
.
O termo de ordem 50 é
Portanto os 50 termos de menor valor de
são:
Calculamos a soma usando a fórmula acima:
Conclusão:Vemos que, supondo
,
a questão proposta não apresenta alternativa correta.
Observações.
1) Parece que a intenção do examinador foi tomar
.
2) Sobre a questão se 0 está ou não em
,
não existe nada de definido sobre isso. Existem autores que tomam 0 em
,
outros não, tudo dependendo da conveniência ou do tipo de texto que está
escrevendo. O importante é o autor deixar claro no texto que opção
está adotando. Confira [07], página 31, última linha, ou [08],
página 191.
3) O fato de se definir
através dos axiomas de Peano não implica nem que
e nem que
.
Os axiomas de Peano podem ser utilizados de modo a começar
com zero. Confira, por exemplo, [01] página 158, [04] página 14, [05]
página 15, [06] página 245, [09] página 15, [10] páginas 72 a 74,
[11] página 68, e [12] páginas 117 e 118. Por outro lado os axiomas de
Peano podem ser utilizados de modo a começar
com 1. Confira, por exemplo, [02] página 32, [03] página 1 e [07],
página 30.
Em resumo, a teoria nada diz sobre se
ou se
,
e se pode adotar uma ou outra coisa dependendo da conveniência.
4) Quanto à questão se caberia recurso sobre o problema, não sabemos
responder. Rigorosamente, o autor do problema deveria ter deixado claro qual é o
domínio de
.
Por outro lado, vimos que é possível para o estudante encontrar a resposta
certa, por exclusão. Fica assim uma questão duvidosa, só um especialista
jurídico poderia responder. De qualquer forma, o estudante pode reclamar para a banca
examinadora, quem sabe eles aceitam anular a questão, o que teoricamente viria a
favorecer o estudante.
5) Apresentamos a seguir um enunciado alternativo que, a nosso ver, evitaria
qualquer reclamação. Esclarecemos, entretanto, que a redação de um
problema é, em certos pontos, uma questão de gosto pessoal.
Redação alternativa do problema 39. Sejam
o conjunto dos números naturais e
o conjunto dos números inteiros. Seja
a função definida recorrentemente por
e
para todo
.
A soma dos valores dos 50 menores elementos do conjunto Im(f) é:
a) 1150
b) 1450
c) 2150
d) 2450
Aqui deixamos claro que
está definida para todo número natural
.
A resposta continua sendo 2150.
6) Sobre o uso do ponto na escrita de números, consulte a QR
Dúvida de Estudante de Licenciatura.
Referências.
[01] Bourbaki, N., Elements of Mathematics, Theory of Sets. Reading,
Massachusetts, Addison-Wesley, 1974.
[02] Cohn, P. M., Algebra. Segunda Edição, Volume 3. New York,
John Wiley & Sons, 1991.
[03] Duffee, C. C. M., An Introduction to Abstract Algebra. New York,
John Wiley & Sons, 1940.
[04] Ebbinghaus, H.-D. et alii, Numbers. New York, Springer Verlag,
1991.
[05] Jacobson, N., Basic Algebra I. Segunda Edição. New York, W. H.
Freeman and Company, 1985.
[06] Lang, S., Undergraduate Algebra. New York, Springer Verlag, 1987.
[07] Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. e Morgado, A. C.,
A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Coleção do Professor de
Matemática. Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática, 1996.
[08] Lima, E. L., Meu Professor de Matemática e outras histórias.
Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Rio de Janeiro,
Sociedade Brasileira de Matemática, 1987, página 191. Também publicado na
Revista do Professor de Matemática, Vol. 1, n. 1, 1982, página 5.
[09] MacLane, S. e Birkhoff, G., Algebra. New York, MacMillan Publishing Co,
1979.
[10] Monteiro, L. H. J., Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro,
Ao Livro Técnico, 1969.
[11] Sigler, L. E., Algebra. New York, Springer Verlag, 1976.
[12] Warner, S., Modern Algebra. Volume 1. Englewood Cliffs,
Prentice Hall, 1965.
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Recebemos a pergunta do estudante através de uma lista da
SBM
sbm-problemas@ime.usp.br em 30-12-2001.
Esta matéria foi apresentada para publicação em 21/01/2002 por
José Ruidival Soares dos Santos Filho e Roberto Ribeiro Paterlini, do DM-UFSCar.
Contribuiu Janey Antonio Daccach, da Universidade Mackenzie, SP.
Preparado para publicação na Internet por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar.
Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. Confira
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Publicado no Hipertexto Pitágoras em 08/03/2002.
Esta página foi atualizada em 08 de março de 2002.