Questões Respondidas de Combinatória - Matemática Elementar
Dúvida em problema de concurso :
Jovem professor de Matemática solicita comentários sobre a questão 15 do
Concurso de Sargentos da Aeronáutica, turma 2002, pois parece haver dúvidas
sobre a questão.
A questão 15) do concurso é a seguinte:
15) Um baralho tem 52 cartas, sendo 4 reis e 48 não reis. O número de maneiras diferentes que uma pessoa pode retirar desse baralho um grupo de 5 cartas, sendo 3 reis e 2 não reis, é igual a a) 44.100 b) 1.152 c) 2.162 d) 54.144
O gabarito oficial da prova assinala a alternativa d) como a resposta correta.
Resposta do Prof. Roberto Ribeiro Paterlini, DM-UFSCar
Enunciar problemas de combinatória não é fácil. Podem ocorrer mal
entendidos principalmente quando se procura enunciar o problema em linguagem coloquial.
Para estudar a questão acima vamos primeiro examinar três problemas similares,
estes sim enunciados em linguagem matemática.
Para os problemas abaixo tomaremos o conjunto de cartas do baralho, constituído
por 52 cartas (distintas duas e duas), divididas em dois subconjuntos, um de quatro cartas,
que chamaremos de reis, e outro de 48 cartas, que chamaremos de não reis.
Primeiro Problema Similar: Quantos subconjuntos com 5 cartas podemos obter do
conjunto de cartas do baralho, tendo cada subconjunto 3 reis e 2 não reis?
Solução: Como se tratam de conjuntos, usaremos combinação
simples. O número de subconjuntos com 3 reis obtidos do conjunto de 4 reis é
O número de subconjuntos com 2 reis obtidos do conjunto de 48 não reis é
Cada conjunto com 3 reis pode ser reunido com um conjunto com 2 não reis, formando um conjunto com 5 elementos, como pedido. Assim o número total é
Segundo Problema Similar: quantas seqüências de 5 cartas diferentes podemos formar usando as cartas do baralho, sendo cada seqüência formada por uma subseqüência de 3 reis seguida de uma subseqüência de 2 não reis?
Solução: Como são seqüências de elementos diferentes, trata-se de arranjo simples. Dos 4 reis podemos extrair
seqüências de 3 elementos diferentes. Dos 48 não reis podemos extrair
seqüências de 2 elementos diferentes. Temos então
seqüências conforme pedido.
Terceiro Problema Similar: quantas seqüências de 5 cartas diferentes
podemos formar usando as cartas do baralho, tendo cada seqüência 3 reis e 2
não reis?
Solução: Conforme vimos no Primeiro Problema Similar existem
subconjuntos com 5 cartas que podemos obter do conjunto de cartas do baralho, tendo cada subconjunto 3 reis e 2 não reis. Cada um desses subconjuntos dá origem a
seqüências de elementos diferentes (permutação de 5 elementos). Portanto o número pedido é
Observações: 1) Entendemos que na linguagem coloquial o termo grupo é sinônimo de conjunto. Parece-nos assim que o Primeiro Problema Similar acima é o que mais se aproxima do enunciado do problema 15 do Concurso para a Escola de Sargentos da Aeronáutica. Vemos entretanto que nossa resposta não está presente nas alternativas apresentadas.
2) O Segundo Problema Similar acima é o que apresenta resposta igual à do gabarito oficial da prova. Entretanto, mesmo passando este problema para a linguagem coloquial, não vemos como permutar um enunciado por outro.
3) Em vista disso entendemos que a questão 15) do referido Concurso deveria ser anulada.
4) Sugerimos que em problemas de concurso não seja usado o conjunto de cartas do baralho. Embora seja um conjunto interessante, que fornece um grande número de possibilidades para se construir problemas de combinatória e de probabilidade, ocorre que nem todos os estudantes têm conhecimento deste conjunto. A rigor, todo problema que usasse este conjunto deveria ser precedido de uma explicação suficiente de suas propriedades, pelo menos das que serão usadas no problema. Se essas explicações forem longas, isso pode prejudicar o estudante que não conhece o baralho em confronto com aquele que conhece. Lembramos que muitos grupos religiosos propõem a seus participantes que não se envolvam com jogos de azar. Assim sendo estudantes que participam destes grupos poderiam eventualmente serem prejudicados em concursos que tenham problemas deste tipo.
5) Sobre o uso do ponto na escrita de números, consulte a QR Dúvida de Estudante de Licenciatura.
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Esta matéria foi apresentada para publicação em 15/01/2002 por
Roberto Ribeiro Paterlini, do DM-UFSCar. Contribuíram
Paulo Antonio Silvani Caetano, Waldeck Schutzer, Selma Helena de Jesus Nicola e
Fábio Figueira, do DM-UFSCar.
Preparado para publicação na Internet por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar.
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Publicado no Hipertexto Pitágoras em 08/03/2002.
Esta página foi atualizada em 08 de março de 2002.