Exercícios sobre funções
Parte 2

1. Descreva o domínio máximo de cada uma das funções, incluindo o esboço (quando possível) e propriedades como ser aberto, fechado, compacto, limitado, etc. Encontre também o conjunto dos zeros (nível $k=0$). Quais funções são limitadas?
   (a) $f(x,y) = \ln(x^2+y-5)$,     (b) $f(x,y,z) = (x^2+y^2+z^2-1)^{1/2}$,     (c) $f(u,v,w) = \exp\left(\displaystyle { u \over {v-w}}\right)$,
   (d) $F(x_1,x_2,x_3,x_4) = \displaystyle {2x_1-3x_2\over{x_3+5x_4}}$,     (e) $g(x,y,z)=\ln(xy/z)$.
2. Esboce o gráfico e encontre curvas de nível para as seguintes funções, incluindo todos os níveis em que há mudança qualitativa de formato (níveis críticos), e pelo menos um nível acima e outro abaixo e cada nível crítico.
   1. $f(x,y)=2x-3y+1$ (generalize para $f(x,y) = ax+by+c$).
   2. $f(x,y) = 2x^2-3y^2+1$ (depois, faça todos os casos da forma $f(x,y)=ax^2+by^2+c$)
   3. $f(x,y)=2x^2-3y^2 +4x-6y-1$ (como fazer no caso $f(x,y)=ax^2+by^2+cx + dy +f$?)
   4. $f(x,y) = xy$
   5. $z = \displaystyle {x^2-y^2-1\over x^2+y^2-1}$ (Neste caso, procure encontrar somente as curvas de nível, utilizando equações de cônicas)
   6. $z = (x+y)^{1/3}$
   7. $z=\cos\sqrt{x^2+y^2}$
   8. $z=\cos x + {\rm sen}\,y$ (sugestão: utilize as funções plot3d e contourplot do Maple)
3. Sejam $z=f(x,y)$, $z=f(x+a,y+b)$ e $z=f(x,y)+c$, com $a$, $b$ e $c$ constantes. O que se pode dizer sobre os gráficos e as curvas de nível da segunda e terceira funções em relação aos obtidos para a primeira?
4. Descreva as superfícies de nível das seguintes funções: (a) $f(x,y,z) = ax + by + cz + d$, (b) $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$ e (c) $f(x,y,z) = x^2+y^2-z^2$ (generalize (b) e (c) a exemplo dos exercícios de 2 variáveis).
5. Determine o limite, ou mostre que o limite não existe, nos pontos indicados:
   1. $f(x,y) = \displaystyle {x^2-y^2+1\over x^2-y}$ em (1,2).
   2. $f(x,y) = \cos\left(\displaystyle {x^2-y^2+1\over x^2-y}\right)$ em (1,2).
   3. $f(x,y) = \displaystyle {x^2-2xy+y^2+1\over x^2y-y^3}$ em (1,1).
   4. $g(x,y) = \left\{\matrix{xy, & \mbox{se $xy\ne 0$}\cr 1, & \mbox{se $xy=0$}\cr} \right.$ em (0,1).
   5. $h(x,y) = \displaystyle {(x-1)^2+y^2\over 1-x^2-y^2}$ em (1,0).
   6. $f(x,y) = \displaystyle {x^2-xy^2+y^4\over x^2+y^4}$ em (0,0).
   7. $h(x,y,z) = \displaystyle {x^2+y^2+2y-z\over x^2+y^2+z^2}$ em (0,0,0).
6. Considere a função $f(x,y) = \displaystyle {x^2-2xy+y^2+1\over x^2y-y^3}$ do exercício anterior. Verifique a continuidade de $f$ em (1,1) se definirmos (a) $f(1,1) =1$ e (b) $f(1,1) = 0$. A função (5a) é contínua em todos os pontos do seu domínio?
7. Quando se utiliza um computador para traçar curvas de nível ( contourplot no Maple), muitas vezes parece que duas curvas $C_k$ e $C_{k'}$, com $k \ne k'$, se cruzam. Isto é possível? O limite da função quando $(x,y)$ tende a esse suposto cruzamento existe?
8. Peça a um colega para inventar uma função de 2 variáveis e determinar suas curvas de nível (não espie). Depois, sem conhecer a função, tente reconstruir o gráfico da função.
9. Faça a leitura de um levantamento topográfico de um terreno. Uma das razões para se conhecer o domínio e os pontos de descontinuidade de uma função: gráficos de funções obtidos via computador, em geral, não são confiáveis nas vizinhanças de descontinuidades ou próximos à fronteira do domínio.