Máximos e mínimos, multiplicadores de Lagrange, Taylor

1. Encontre e classifique os pontos críticos de todas as funções dos tipos a seguir. Para cada ponto crítico, esboce as curvas de nível e também o gráfico na vizinhança do ponto. (i) $f(x,y)=ax^2+by^2+c$ ($a^2+b^2 \ne 0$) (ii) $f(x,y) = ax^2 + by +c$ ( $a\ne 0,\; b\ne0$) (iii) $f(x,y) = ax+by+c$ ($a^2+b^2 \ne 0$) (iv) $f(x,y) = ax^{2n}+ by^{2n}+c$ ($a^2+b^2 \ne 0$) (iv) $f(x,y) = ax^{2n+1}+by^{2n+1}+c$ ($a^2+b^2 \ne 0$) (vi) $f(x,y) = x^2+y^3$

   
   

2. Encontre e classifique os pontos críticos das funções. E para cada ponto crítico, faça um gráfico local da função, utilizando o Maple ou qualquer outro software. (a) $f(x,y) = x^2+y^2 + xy^2$ (b) $f(x,y) = x^3-y^3 + 3x^2+3y^2-9x$ (c) $f(x,y) = e^{xy+1}-xy$ (d) $f(x,y) = x^2+y^3 + xy^2-y^2$ (e) $f(x,y) = exp(x^2-y^2)$ (f) $f(x,y) = 3x^2y-9y^3-x^2+1$ (sela de macaco) (g) $f(x,y) = sen^2x + 1/2 y^2$ (h) $f(x,y) = (2x^2+y^2)\exp(1-x^2-y^2)$

   
   

3. Encontre o máximo e o mínimo absoluto das seguintes funções, na região dada:
   1. $f(x,y) = xy^2+2x+y^4 +1$, na região $x^2+y^2\le 1$
   2. $f(x,y) = 6x^2+18xy+ 4y^2-6x-10y +5$, no quadrado $0 \le x,\,y\le 1$

   
   Para funções de 2 ou mais variáveis $y = f(x_1,\ldots, x_n)$, com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, podemos deduzir uma regra para determinação de máximos ou mínimos locais no interior do domínio. Isto equivale a estudar a aproximação de $f$ pelo polinômio de Taylor de grau 2 desenvolvido em torno do ponto crítico (*). Os passos são os seguintes:

   Passo 1: Ache os pontos críticos $p$ da função, fazendo $\nabla f(p)=0$. Passo 2: Calcule a matriz Hessiana da função $f$ nos pontos críticos $p$: $Hf(p)$ é a matriz $n\times n$ tal que o elemento $(i,j)$ é $${\partial^2 f\over \partial x_i \partial x_j}(p)$$. Passo 3: Calcule os auto-valores da matriz hessiana em cada ponto crítico $p$. Definimos um auto-valor de uma matriz quadrada $M$ como sendo uma raiz do polinômio $\det( M - t I)$, onde $I$ é a matriz identidade de ordem $n$. Passo 4: (Análise final) Um ponto crítico $p$ é ponto de mínimo [respectivamente, máximo] se todos os auto-valores de $Hf(p)$ forem positivos [respectivamente, negativos]. Se existem auto-valores positivos e negativos, $p$ não é de máximo nem de mínimo ( é uma espécie de sela ). Se algum dos auto-valores for nulo, nada se pode concluir.

   
   

4. Faça a análise dos pontos críticos do exercício 1 utilizando a teoria acima.

   
   

5. Classifique os pontos críticos de (i) $f(x,y,z) = xy + yz + xz$ e (ii) $f(x,y,u,v) = -8x^2-6xy-6xu+7y^2+4yu + 7u^2+3v^2$.

   
   

6. Use multiplicadores de Lagrange para resolver os seguintes problemas:
   1. Encontre os pontos de máximo e mínimo de $f(x,y) = xy$ sobre a circunferência $x^2+y^2=1$.
   2. o exercício 2a. acima.
   3. Encontre os pontos críticos de $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$ sujeito ao vínculo $z^2+2x=y^2+1$.
   4. Encontre os pontos críticos de $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$ sujeito aos vínculos $x^2-xy+y^2-z^2=1$ e $x^2+y^2=1$.
   5. Encontre os pontos mais alto e mais baixo da superfície $x^2+2y^2 + z^2-4x+4y-2z+6=0$.
   6. Encontre as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito na esfera $x^2+y^2+z^2=1$.
   7. Calcule as dimensões de uma piscina de lados e bases retangulares com volume 10$m^3$ que pode ser feita com o mínimo de material, supondo que tanto nas laterais quanto no fundo, o material gasto por unidade de área é o mesmo.

   
   

7. Encontre uma função polinomial, quadrática em $x$ e $y$, cujo gráfico aproxima as seguintes superfícies $z=f(x,y)$ em alguma vizinhança do ponto $P_0$ indicado, usando o polinômio de Taylor.
   1. $z = x^3 + x^2 y$, $P_0 = (1,1)$
   2. $z = sen(x^2+y^2)$, $P_0 = (0,0)$
   3. $z = \ln(1+x+x^2y)$, $P_0 = (0,2)$.

   
   (*) Para obter a expressão do polinômio de Taylor de $f(x,y)$ de resto de ordem $3$ ( grau $\le 3-1=2$) em torno do ponto $(a,b)$ no Maple V, basta digitar: readlib(mtaylor): mtaylor(f(x,y), [x=a,y=b], 3);