Funções implícitas; jacobiano; funções inversas

1. Use diferenciais para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da variável indicada como obtida implicitamente em função das outras duas, através da equação dada. O que justifica isto pode ser feito, pelo menos localmente? Use a regra de derivação implícita para deduzir as mesmas derivadas.
   1. $z^3+xz + y^2=1, \, z = z(x,y)$. $z_x=$?, $z_y=$?
   2. equação acima, $x = x(y,z)$
   3. equação acima, $y = x(x,z)$
   4. $e^{xyz}+z\ln(xy) =3, \, z = z(x,y)$
   5. $u \sin v + vwe^u = \pi, \, w=w(u,v)$
   6. $\cosh(xyz) + z\ln (xyz^2) =1,\, x=x(y,z)$

   
   

2. Se $f(x,y,u,v,w) = x^2y+u{\rm sen}\,v + wy^3$, $g(x,y,u,v,w) = e^{xy}+w\ln(1+v+y^2)+xu^2$, e $h(x,y,u,v,w) = {\rm sen}\,(x+y+u+v)$, calcule os seguintes jacobianos, no ponto (x,y,u,v,w) = (0,1,1,2,3):
   1. $${\partial(f,g)\over\partial(x,y)}$$
   2. $${\partial(f,h)\over\partial(v,w)}$$
   3. $${\partial(f,g,h)\over\partial(v,u,w)}$$
   4. $${\partial(f,h,g)\over\partial(u,x,v)}$$

   
   

3. Sejam as variáveis $x$, $y$, $u$, $v$ relacionadas pelas equações $f(x,y,u,v) = x^2-y_2+2uv+15=0$ e $g(x,y,u,v) = x+2xy+u^2+v^2-10=0$. O ponto $\hat P_0(x,y,u,v) = (1,2,-2,3)$ satisfaz ambas as equações. Mostre que essas equações definem $u$ e $v$ como funções diferenciáveis de $x$ e $y$ em alguma vizinhança do ponto $P_0(x,y) = (1,2)$ e encontre as derivadas parciais $u_x$, $u_y$, $v_x$, $v_{xx}$ no ponto $P_0$.

   
   

4. Considere a mudança de variáveis $x = r\cos \theta$, $y = r {\rm sen}\,\theta$.
   1. Onde no plano $Oxy$ essa transformação é invertível?
   2. Usando derivação implícita nas funções $f(x,y,r,\theta) = r\cos \theta -x$ e $g(x,y,r,\theta) = r{\rm sen}\,\theta -y$, calcule $r_x$, $r_y$, $\theta_x$, $\theta_y$ (deixe em função de $r$ e $\theta$). Calcule também $r_{xx}$.
   3. Verifique que $${\partial(r,\theta)\over\partial(x,y)}= 1/\left( \displaystyle {\partial(x,y)\over\partial(r,\theta)}\right)$$.

   
   

5. Considere a transformação $x = r + s^2$, $y = r^2+s$.
   1. Onde no plano $(r,s)$ pode ser essa transformação considerada invertível? Resp: exceto na hipérbole $rs = 1/4$.
   2. Se $u(x,y)$ satisfaz a equação diferencial $u_x+u_y=0$, mostre que a função composta $v(r,s) = u(r+s^2, r^2+s)$ satisfaz a equação $(1-2s)v_r + (1-2r)v_s=0$.