Prezada comunidade,

Nesta semana teremos a palestra do professor Thiago Castilho de Mello (Universidade Federal de São Paulo – UNIFESP).

Título: Imagens de polinômios multilineares nas álgebras de Witt e de Virasoro
Data: 28 de agosto de 2026
Horário: 14h
Local: Auditório do DM

Resumo: As álgebras de Witt, \(W_n^+ \ \ \ \ \ \ \ \) e \(W_n\ \ \ \ \ \ \ \) são definidas, respectivamente, como as álgebras de Lie das derivações do anel de polinômios e do anel de polinômios de Laurent em \(n\) variáveis. Estas têm grande importância tanto na matemática — por exemplo, como exemplos fundamentais de álgebras de Lie simples de dimensão infinita — quanto na física: no caso \(n = 1\), \(W_1\ \ \ \ \ \ \ \) admite uma extensão central não trivial, a álgebra de Virasoro,  essencial em teoria de cordas e em teoria de campos conformes.

Um problema central no estudo dessas álgebras é o de suas identidades polinomiais. Razmyslov conjecturou que todas as identidades de \(W_1^+\ \ \ \ \ \ \ \) são consequência de uma única identidade de grau \(5\), alternada em \(4\) variáveis. Esse problema segue em aberto, mas abordagens relacionadas foram resolvidas completamente — por exemplo, as identidades \(Z\)-graduadas de \(W_1^+\ \ \ \ \ \ \ \), \(W_1\ \ \ \ \ \ \ \) e da álgebra de Virasoro já foram descritas por completo.

Nesta palestra, tratamos de uma questão complementar à de identidades: a da imagem de um
polinômio multilinear \(p\) avaliado em uma álgebra \(A\), no espírito da conjectura de L’vov-Kaplansky (que prevê, para álgebras de matrizes, que a imagem de um polinômio multilinear não identicamente nulo é sempre um subespaço vetorial). Apresentaremos resultados recentes mostrando que todo polinômio multilinear que não é identidade de \(W_1\ \ \ \ \ \ \ \) é sobrejetivo, resultados parciais análogos para \(W_1^+\ \ \ \ \ \ \ \) e um fenômeno surpreendente na álgebra de Virasoro: a imagem do comutador não é sequer um subespaço vetorial. Discutiremos também alguns problemas em aberto.